En el espacio vectorial de las sucesiones de números reales sobre \(\mathbb R\) con las operaciones $$(a_n)_{n=1}^\infty + (b_n)_{n=1}^\infty = (a_n + b_n)_{n=1}^\infty, \quad \lambda \cdot (a_n)_{n=1}^\infty = (\lambda \, a_n)_{n=1}^\infty \forall \lambda \in \mathbb R,$$ se considera el subespacio vectorial definido por las sucesiones que verifican: $$ \Gamma = \{ (a_n)_{n=1}^\infty \mathop{\vert} a_n = a_{n -1} + a_{n -2} \text{ con } n \ge 3, a_1, a_2 \}$$
a) Demostrar que las progresiones geométricas de \(\Gamma\) con \(a_1 = 1\) forman una base de \(\Gamma\).
b) Obtener las componentes en dicha base y el término general de las sucesiones de \(\Gamma\) definidas por: $$\eqalign { a_1 = 1, a_2 = 1 &\quad \text{(Sucesión de Fibonacci)} \\ a_1 = 1, a_2 = 3 &\quad \text{(Sucesión de Lucas)} }$$