You dont have javascript enabled! Please enable it! Álgebra archivos - Cuadernos | El cartapacio

Andalucía 2023-P4

Para cada \(n \in \mathbb N\) y para cada \(a,b \in \mathbb C\) considere la matriz $$A_n(a) = \pmatrix { 1+a & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ a & 1+a & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & a & 1+a & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1+a & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a & 1+a } \in \cal M_{n \times n} (\mathbb C)$$ y el sistema de ecuaciones \(A_n(a) X = \pmatrix {0 & 0 & \dots & b}^{\sf T}\) con \(X \in \cal M_{n \times 1} (\mathbb C).\)

  1. Calcule los siguientes determinantes: \(\det (A_1(a)),\) \(\det (A_2(a)),\) \(\det (A_3(a)).\)
  2. Obtenga una relación lineal entre los determinantes de \(A_n(a),\) \(A_{n+1}(a)\) y \(A_{n+2}(a)\).
  3. Halle, según los valores de \(a\) y \(n,\) una expresión para el determinante de \(A_n(a).\)
  4. Estudie el sistema \(A_n(a) X = \pmatrix {0 & 0 & \dots & b}^{\sf T}\) según los valores de \(a, n, b.\)

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Madrid 2023-Estab-P4

Consideremos las siguientes bases de \(\mathbb R^2\colon\)\(\{ e_1=(1,0),e_2=(0,1) \}\) y \(\{ f_1=(1,3),f_2=(2,5) \}.\)

  1. Hallar la matriz \(Q\) de cambio de base de \(\{f_i\}\) a \(\{ e_i \}.\)
  2. Verificar que se cumple \(Q=P^{-1}\) siendo \(P\) la matrix de cambio de base de \(\{ e_i \}\) a \(\{ f_i \}.\)
  3. Mostrar que \([T]_f = P^{-1} [T]_e P,\) para el operador \(T\) sobre \(\mathbb R^2\) definido de la forma: \(T(x,y)=(2y,3x-y).\)

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Cantabria 2012-P2

Se considera el endomorfismo \(f\) de \(\mathbb R^4\) cuya matriz asociada respecto de la base canónica de \(\mathbb R^4\) es la siguiente $$M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$

  1. Estudie si \(f\) es diagonalizable.
  2. En caso afirmativo, encuentre una base de \(\mathbb R^4\) respecto de la cual la matriz asociada a \(f\) sea diagonal.

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País Vasco 2012-P5

Calcular \(\require{AMSmath}\)$$\lim_{n\to\infty} \begin{vmatrix} ~1+x & -x & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\[0.3em] -\dfrac{1}{2} & 1+\dfrac{x}{2} & -x & 0 & \dots & 0 & 0 \\[0.3em] 0 & -\dfrac{1}{3} & 1+\dfrac{x}{3} & -x & \dots & 0 & 0 \\[0.3em] 0 & 0 & -\dfrac{1}{4} & 1+\dfrac{x}{4} & \dots & 0 & 0 \\[0.3em] \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\[0.3em] 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1+\dfrac{x}{n-1} & -x \\[0.3em] 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & -\dfrac{1}{n} & 1+\dfrac{x}{n}~ \end{vmatrix}$$

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Cataluña 2021-A-P1

Contexto
Sois docentes de dos de los cuatro grupos de alumnos de 3º de ESO de un instituto de Cataluña situado en una población del área metropolitana de Barcelona. Es un centro con una diversidad grande de alumnos que recoge alumnos provenientes, mayoritariamente, de 6 escuelas diferentes de la población. El proyecto educativo del centro establece que los grupos tienen que ser heterogéneos, de forma que en todos ellos haya una distribución equivalente en cuanto a chicos y chicas y niveles competenciales logrados en los cursos anteriores. Para poder resolver problemas donde haya dos magnitudes relacionadas entre sí, tenéis previsto dedicar varias sesiones a trabajar con los alumnos el método de reducción para la resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Cuestiones previas
  1. Enunciar el Teorema de Rouché-Fröbenius. ¿Qué relación creéis que puede tener con el currículum de ESO?
  2. Explicar en qué consiste el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones y qué relación tiene con el método de reducción para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Dos de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones más utilizados son el método de Gauss y la regla de Cramer. Valorar en qué condiciones es mejor el uno que el otro.
  3. Considerar el sistema de ecuaciones lineales siguiente: $$\begin{cases} x-y+z &= 0 \\ 2x+kz &= 1 \\ x+(k+1)y+z &=k^2-4 \end{cases}$$ en el que \(k\) es un parámetro real.
    1. Discutir el sistema para los diferentes valores de \(k\).
    2. Resolver el sistema para \(k = −2.\)
Elaboración de la situación de aprendizaje
  1. Describir en detalle el desarrollo de una sesión de resolución de problemas mediante el uso del método de reducción para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, con alumnos de 3º de ESO, indicando las actividades de aprendizaje propuestas, la organización y el trabajo de los alumnos, así como las estrategias para garantizar la participación de todo el alumnado.
  2. Concretar los aprendizajes competenciales que prevéis que adquieran los alumnos en esta sesión.
  3. Concretar elementos relacionados con la evaluación de los aprendizajes previstos a la sesión.

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País Vasco 2021-P1

Dada la matriz \(A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) siendo \(a,b,c,d \in \mathbb R,\) \(a+d=-1,\) \(ad-bc=-2.\) Sea \(E\) el espacio vectorial que tiene \(\{A,I\}\) como sistema generador.

  1. Hallar \(\dim E\).
  2. Comprobar que \(A^2+A-2I=0.\) Deduce que \(A^{-1} \in E\).
  3. Demostrar que el producto de matrices es una operación interna en el espacio vectorial \(E\).
  4. Encontrar todas las matrices \(X\) del espacio vectorial \(E\) que verifican la igualdad \(X^2=X\). ¿Estas matrices son inversibles?

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