You dont have javascript enabled! Please enable it! homomorfismo archivos - Cuadernos | El cartapacio

Madrid 2023-Estab-P4

Consideremos las siguientes bases de \(\mathbb R^2\colon\)\(\{ e_1=(1,0),e_2=(0,1) \}\) y \(\{ f_1=(1,3),f_2=(2,5) \}.\)

  1. Hallar la matriz \(Q\) de cambio de base de \(\{f_i\}\) a \(\{ e_i \}.\)
  2. Verificar que se cumple \(Q=P^{-1}\) siendo \(P\) la matrix de cambio de base de \(\{ e_i \}\) a \(\{ f_i \}.\)
  3. Mostrar que \([T]_f = P^{-1} [T]_e P,\) para el operador \(T\) sobre \(\mathbb R^2\) definido de la forma: \(T(x,y)=(2y,3x-y).\)

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Cantabria 2012-P2

Se considera el endomorfismo \(f\) de \(\mathbb R^4\) cuya matriz asociada respecto de la base canónica de \(\mathbb R^4\) es la siguiente $$M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$

  1. Estudie si \(f\) es diagonalizable.
  2. En caso afirmativo, encuentre una base de \(\mathbb R^4\) respecto de la cual la matriz asociada a \(f\) sea diagonal.

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I. Baleares. Ibiza 2022-B-E3

Sea \(\{e_1, e_2, e_3, e_4 \}\) una base de \(\mathbb R^4\) y consideremos \(f:\mathbb R^4 \to \mathbb R^4\) la aplicación lineal tal que $$f(e_1) = e_1+e_3, \quad f(e_2)=-e_2+e_4 \\ \text{Nuc }f = \{ (x,y,z,t) \in \mathbb R^4 : 2x+y=0, \, x+z+2t=0 \}$$

  1. Encuentre la dimensión y una base de \(\text{Nuc }f.\)
  2. Calcule las ecuaciones implícitas de \(\text{Im }f\) y dé una base.
  3. Determine la matriz de \(f\) en la base \(\{e_1, e_2, e_3, e_4 \}.\)

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I. Baleares. Menorca 2022-A-E2

Se considera \(\mathcal B = \{v_1, v_2, v_3 \}\) una base de \(\mathbb R^3\) y se considra la aplicación lineal \(f:\mathbb R^3 \to \mathbb R^3\) definida por: $$v_1-v_2 \in \text{Ker } f, \quad f(v_1+v_2)=v_3, \quad f(v_3)=v_1-v_2.$$

  1. Escribe la matriz asociada a \(f\) en la base \(\mathcal B.\)
  2. Encuentra bases de su núcleo y su imagen.
  3. Clasifica el endomorfismo. ¿Es inyectivo, exhaustivo, …?
  4. Prueba, sin hacer uso del cálculo matricial, que el endomorfismo \(f^3\) es idénticamente nulo, esto es \(f^3(w)=0\) para todo vector \(w.\)

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I. Baleares. Menorca 2022-A-E5

Dado el plano de ecuación \(\pi : x+2y-z=0\) y la recta definida por \(r : \begin{cases} x+y=0, \\ 3x-y+z=0. \end{cases}\) Se considera la transformación lineal \(T\) proyección sobre el plano \(\pi\) en la dirección de la recta \(r.\)

  1. Deduzca que \(T^2 = T.\)
  2. Encuentra la matriz \(A,\) en la base canónica, de la transformación lineal \(T.\)
  3. Sea el subespacio \(F = \left\langle (2,-1,a), (1,a,3)\right\rangle.\) Calcula, si es posible, los valores del parámetro \(a\) de manera que \(T(F)\) tenga dimensión \(1.\)

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I. Baleares. Menorca 2022-B-E2

Sea \(\mathcal M_3(\mathbb R)\) el espacio vectorial de las matrices reales cuadradas de orden \(3.\)

  1. Demuestra que el conjunto \(A\) de las matrices antisimétricas de orden \(3\) es un subespacio vectorial de \(\mathcal M_3(\mathbb R)\) y obtener razonadamente una base \(\mathcal B\) del subespacio \(A.\)
  2. Sea \(T: A \to \mathcal P_3(\mathbb R),\) donde \(\mathcal P_3(\mathbb R)\) es el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de grado \(3,\) definida como: \(\def\hemisim#1#2#3{\begin{pmatrix} 0 & #1 & #2 \\ -#1 & 0 & #3 \\ -#2 & -#3 & 0 \end{pmatrix}}\)$$\hemisim{a}{b}{c} \to ax+bx^2+cx^3$$ Encuentre la matriz de esta aplicación lineal asociada a la base \(\mathcal B\) de \(A\) y la base del espacio de polinomios dada por \(\{1,x,x^2,x^3\}.\) Escribir la ecuación matricial de la aplicación.
  3. Determina el núcleo y la imagen de esta aplicación \(T\) y demuestra que se trata de un isomorfismo sobre el conjunto \(\text{Im }T.\)
  4. Compruebe que se verifica el teorema de las dimensiones.

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Matriz de un homomorfismo

Consideremos dos espacios vectoriales \(\def\vecbf#1{\mathbf {\vec {#1\,}}}\def\dim#1{\text{dim }#1}\def\ker#1{\text{Ker }#1}\def\im#1{\text{Im }#1}\)\(\mathbb V\) y \(\mathbb V’\) sobre el mismo cuerpo de escalares \(\mathbb K\) con \(\dim {\mathbb V} = n\) y \(\dim {\mathbb V’} = m.\) Sean las bases \(\mathcal B = \{ u_i \}_{i=1}^{n}\) del espacio \(\mathbb V\) y \(\mathcal B’ = \{ u’_j \}_{j=1}^{m}\) del espacio \(\mathbb V’.\) Sea \(f : \mathbb V \rightarrow  \mathbb V’\) una aplicación lineal.

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C. F. Navarra 2021-COVID-P2

Sea \(\mathbb P_3(t)\) el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que \(3\) en la variable \(t.\) Se considera la aplicación: $$f : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb P_3(t) \text{ dada por } f(x,y,z) = x \, t^3 + y \, t + (y + z).$$

a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos {0{,}5}\) Demostrar que es una aplicación lineal.
b) \(\puntos {0{,}5}\)Hallar la matriz coordenada de \(f\) respecto de las bases canónicas de \(\mathbb R^3\) y \(\mathbb P_3(t)\).
c) \(\puntos {0{,}75}\) ¿Es \(f\) biyectiva? Razónalo.
d) \(\puntos {0{,}75}\) Hallar la matriz coordenada de \(f\) respecto de las bases \(\mathcal B = \{ (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) \}\) y \(\mathcal B^\prime = \{ t^3, t^2 + t, t + 1, 1 \}.\)

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Galicia 2021-E1-P1

Sea \(P_3(x)\) el espacio vectorial de los polinomios de grado  menor o igual que \(3\) con coeficientes reales. Sea \(f : P_3(x) \rightarrow P_3(x)\) definida por $$f \big ( p(x) \big ) = \beta p(x) + p'(x), \quad \beta \in \mathbb R$$ a) Probar que \(f\) es una aplicación lineal.
b) Hallar su núcleo, su imagen y clasificar \(f\) según los valores de \(\beta\).
c) Suponiendo \(\beta = 1,\) hallar la matriz asociada a \(f\) cuando se considera en \(P(x)\) la base \(\mathcal B = \lbrace 2, x + 1, x^2 -1, x^3 + 1 \rbrace\) tanto en el espacio inicial como en el final.

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I. Baleares. Menorca 2021-E2-P1

Sea \(E\) un K-espacio vectorial con una base \(\mathcal B = \lbrace u_1, u_2, u_3 \rbrace.\)Sea \(f\) la única aplicación lineal \(f : E \rightarrow E\) tal que $$f(u_1) = u_2 + u_3 \\ f(u_2) = u_1 + u_2 + 2u_3 \\ f(u_3) = 2u_1 + 2u_2 +2u_3 $$ Si \( K = \mathbb R, E = \mathbb R^3, \mathcal B = \lbrace (1,2,1), (1,0,1), (0,0,1) \rbrace,\) calcula
a) \(f(3,1,2)\).
b) la matriz de \(f\) respecto de la base \(\mathcal B\).
c) la dimensión del núcleo de \(f\).
d) la dimensión de la imagen de \(f\).

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