You dont have javascript enabled! Please enable it! ecuación funcional archivos - Cuadernos | El cartapacio

Madrid 2023-P3

  1. Sea \(f: \mathbb R \to \mathbb R\) una función que cumple las siguientes propiedades: $$f(x+y) = f(x) \cdot f(y), \quad \forall x,y \in \mathbb R, \\ \lim_{x \to 0}\frac{f(x)-1}{x} = 1.$$ Demostrar que \(f(x)\) es derivable \(\forall x \in \mathbb R.\) Obtener una expresión explícita de la función \(f.\)
  2. Demostrar que para todo número natural \(n\) se verifica: $$\frac{1}{n+1} \lt \ln(n+1)-\ln(n) \lt \frac{1}{n}.$$ Nota: \(\ln\) significa logaritmo neperiano.
  3. Demostrar que para todo número natural \(n\) se verifica: $$\left ( 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n+1} \right )-1 \lt \ln(n+1) \lt 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}$$

Este contenido es exclusivo para suscripciones.
Acceso Registro

Murcia 2021-P3

¿Qué funciones \(\def\D{\text{ d}} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R\) que sean integrables en cualquier intervalo \([0,x],\) si \(x \gt 0\) y \([x,0],\) si \(x \lt 0,\) satisfacen la condición $$x \, f(x) = \int_0^x f(t) \D t$$ para cualquier número real distinto de \(0\)?

Este contenido es exclusivo para suscripciones.
Acceso Registro

Andalucía. Sevilla 1996-P2

Encontrar todas las funciones definidas en el conjunto de números reales estrictamente positivos y con valores reales estrictamente positivos, que verifiquen las dos condiciones siguientes:
a) Para cualesquiera \(a,b \in \mathbb R^+,\) \(f \big ( a \cdot f(b) \big ) = b \cdot f(a)\).
b) \(\lim_{x\to\infty} f(x) = 0.\)

Este contenido es exclusivo para suscripciones.
Acceso Registro

Murcia 2018-P3

Sea \(b\) un número real positivo no nulo.
a) Pruebe que si \(f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R\) es una función continua tal que \(f(0)=0\) y \(f'(x)=\frac{1}{1+b \, e^{f(x)}},\)  entonces \(\require{AMSsymbols}f(x) \leqslant \frac{x}{b}\) para cada \(x \gt 0\).
b) Para \(a\) un número real positivo, calcule $$\int_0^a \int_0^b e^{\text{máx}\{(a^2/b^2)x^2, \, y^2\}} dx \, dy$$

Este contenido es exclusivo para suscripciones.
Acceso Registro

Cantabria 2018-E2-P2

Sea \(f\) una función real de variable real y supongamos que existe por lo menos un punto \(c \in \mathbb R\) en el que \(f\) es continua. Supongamos, también, que \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) para todo par de valores \(x,y \in \mathbb R.\) Demostrar que existe una constante \(a \in \mathbb R\) tal que \(f(x) = ax,\) \(\forall x \in \mathbb R.\)

Este contenido es exclusivo para suscripciones.
Acceso Registro

Ceuta 2018-P3

Sea \(\require{AMSmath}\DeclareMathOperator{\sin}{sen}\def\D{\,\mathrm{d}}\)\(g\) una función continua en \(\mathbb R.\) Se define la función \(f\) $$f(x) = \int_0^x \sin (t) \cdot g(x -t) \, dt.$$ Prueba que la función \(f\) es derivable dos veces y que cumple la igualdad $$f^{\prime\prime} + f = g$$

Este contenido es exclusivo para suscripciones.
Acceso Registro