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Andalucía 2023-P2

  1. En un establecimiento comercial la salida diaria de cierto tipo de electrodoméstico viene descrita por una variable aleatoria \(X\) con soporte \({\cal D}_X = \{0,1,2,3,\dots,n\}.\) Se sabe que un \(100\,a\%\) de los días, \(a \in [0,1],\) no se vende ningúna aparato, mientras que la probabilidad de vender un número fijo de ellos es directamente proporcional a ese número.
    1. Demuestre que se verifica \(\displaystyle\sum_{i=1}^n i^2= \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad n \in \mathbb N.\)
    2. Calcule la ley de probabilidad asociada al fenómeno aleatorio descrito: función de masa de probabilidad y función de distribución.
    3. Si el vendedor observa que, por término medio, cada mes (30 días) vende \(1485\) aparatos y el \(90\%\) de los días tiene alguna venta, ¿cuántos electrodomésticos puede vender, como máximo, cada día? ¿Cuál es esa probabilidad?
  2. Halle el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje \(OX,\) la región del plano que resulta de la intersección del interior de \(x^2+y^2=17\) con el exterior de \(x^2+y^2=17x.\)

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Cantabria 2012-P4

Sean \(X\) e \(Y\) dos variables aleatorias independientes y uniformemente distribuidas en los intervalos \((0,1)\) y \((5,9),\) respectivamente y que representan las longitudes de los lados de un rectángulo en el plano. Calcule el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria área del rectángulo.

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Com. Valenciana 2006-P4

La probabilidad de que una pareja tenga \(n\) hijos es \(\alpha \, p^n,\) con \(0 \lt p \lt 1,\) \(n \ge 1,\) \(0 \lt \alpha \, p \lt 1.\) Supongamos que la distribución de sexos entre los hijos son igualmente probables. Obtén

  1. La probabilidad de que tengan al menos un hijo.
  2. La probabilidad de que no tengan hijos.
  3. La probabilidad de que una pareja tenga \(k\) hijos varones sabiendo que tiene \(n\) hijos.
  4. La probabilidad de que una pareja tenga \(k\) hijos varones.
  5. La probabilidad de que la pareja tenga \(3\) hijos sabiendo que tiene \(1\) hijo varón.
  6. El número esperado de hijos.

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I. Baleares. Mallorca 2022-B-P5

La duración en minutos de una llamada telefónica de larga distancia se asemeja a una variable aleatoria \(X\) con una función de distribución \(\require{AMSmath}\)$$F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \le 0 \\ 1-\dfrac{2}{3} \E^{-2x/3}-\dfrac{1}{3} \E^{-x/3} & \text{si } x \gt 0.  \end{cases}$$

  1. Calcule la esperanza matemática o duración media de las llamadas.
  2. Probabilidad de que una llamada esté comprendida entre los \(3\)  y \(6\) minutos.
  3. Probabilidad de que una llamada que dura \(3\) minutos no pase de \(6.\)

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I. Baleares. Menorca 2021-E2-P2

La duración de una bombilla (\(X\)) tiene una distribución de probabilidad con una función de densidad $$\def\E{\mathrm e}\def\D{\mathrm {d}}f(x) = \begin{cases} c \, \E^{-2x}, &\text{si } x \gt 0 \\ 0, &\text{si } x \le 0 \end{cases}$$ donde \(x\) está expresada en miles de horas y \(c\) es una constante positiva. Se pide:

  1. Determinar el valor de la constante \(c\).
  2. Calcular \(E(X)\) y \(V(X)\).
  3. Determinar la función de distribución de \(X\).
  4. Calcular la probabilidad de que una bombilla, que ya ha durado \(400\) horas, dure \(200\) horas más.
  5. Se encienden \(n\) bombillas de este tipo de manera simultánea para determinar su duración en funcionamiento. Se supone que las bombillas funcionan de manera independiente unas de otras y que su duración sigue la función de probabilidad anterior (es decir, son independientes e idénticamente distribuidas). Determina la función de densidad de la variable aleatoria \(Y\) que representa el tiempo de espera hasta que deja de funcionar la primera bombilla.

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I. Baleares. Mallorca 2021-E2-P4

El número de kilómetros diarios que recorre un ingeniero para inspeccionar empresas es una variable aleatoria con función de densidad $$f(x) = \begin{cases} k \, \text{e}^{-x}, &\text{si } x \in [0,2] \\ 0, & \text{si } x \not\in [0,2] \end{cases}$$ donde \(x\) representa el número de kilómetros expresados en centenas.

a) Calcula \(k\).
b) Obten la media de kilómetros que recorre en un día.
c) ¿Si los desplazamientos los efectúa durante \(150\) días al año, cuántos días tendrá que desplazarse más de \(150\) km?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que, teniendo una avería a \(50\) km, tenga asignado aquel día una ruta de menos de \(100\) km?

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I. Baleares. Ibiza 2021-E2-P4

Sea \(X\) una variable aleatoria con función de densidad $$f(x) = \begin{cases} k \, x \, e^{-x^2} & \text{si } x \gt 0 \\ 0 & \text{si } x \le 0 \end{cases}$$.
a) Encuentra el valor de \(k\).
b) Encuentra la función de distribución de la variable \(X\).
c) Encuentra \(P(-1 \le X \le 1)\).
d) Encuentra la media aritmética de \(X\).

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Castilla y León 2002-P4

El grafo de la figura representa el juego siguiente:
Las apuestas se hacen sobre el lanzamiento de una moneda de Laplace. Inicio con \(1\) millón de euros y apuesto. Si no acierto, tengo \(0\) euros y dejo de jugar, si acierto, tengo \(2\) millones y sigo jugando. Apuesto, si no acierto, tengo \(0\) euros y dejo de jugar, si acierto, tengo \(4\) millones y sigo jugando. Apuesto, si acierto, tengo \(5\) millones, gano y finaliza el juego. Cada posible transcurso del juego corresponde a un camino que comienza en \(1\) y termina en el borde \(\{0,5\}.\) Calcular la probabilidad de ganar los \(5\) millones y la esperanza y la varianza de la variable \(X,\) duración (n.º de apuestas realizadas) del juego.

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C. F. Navarra 2021-P4

El tiempo, en minutos, que un documento espera en una cola de impresión es una variable aleatoria continua, \(\zeta,\) con la siguente función de densidad: $$f(x) = \begin{cases} kx, & \text{si } 0 \lt x \lt 5 \\ k(10 -x), & \text{si } 5 \lt x \lt 10 \\ 0, & \text{en el resto.} \end{cases}$$

a) Calcular el valor de \(k\). (0,5 puntos).
b) Calcular la probabilidad de que un documento tenga que esperar menos de  \(3\) minutos. (0,3 puntos).
c) Calcular la probabilidad de que un documento tenga que esperar más de \(9\) minutos. (0,3 puntos).
d) Calcular la probabilidad de que un documento tenga que esperar entre \(4\) y \(7\) minutos. (0,3 puntos).
e) Un documento lleva \(4\) minutos en la cola, ¿cuál es la probabilidad de que tenga que esperar al menos \(3\) minutos más? (0,3 puntos).
f) Un documento lleva \(6\) minutos en la cola, ¿cuál es la probabilidad de que tenga que esperar más de \(9\) minutos? (0,3 puntos).
g) Calcular el tiempo medio de espera. (0,5 puntos).

(Valoración del problema \(2{,}5/10\)).

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