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Andalucía 2023-P2

  1. En un establecimiento comercial la salida diaria de cierto tipo de electrodoméstico viene descrita por una variable aleatoria \(X\) con soporte \({\cal D}_X = \{0,1,2,3,\dots,n\}.\) Se sabe que un \(100\,a\%\) de los días, \(a \in [0,1],\) no se vende ningúna aparato, mientras que la probabilidad de vender un número fijo de ellos es directamente proporcional a ese número.
    1. Demuestre que se verifica \(\displaystyle\sum_{i=1}^n i^2= \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad n \in \mathbb N.\)
    2. Calcule la ley de probabilidad asociada al fenómeno aleatorio descrito: función de masa de probabilidad y función de distribución.
    3. Si el vendedor observa que, por término medio, cada mes (30 días) vende \(1485\) aparatos y el \(90\%\) de los días tiene alguna venta, ¿cuántos electrodomésticos puede vender, como máximo, cada día? ¿Cuál es esa probabilidad?
  2. Halle el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje \(OX,\) la región del plano que resulta de la intersección del interior de \(x^2+y^2=17\) con el exterior de \(x^2+y^2=17x.\)

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Cataluña 2021-B-P2

Contexto
Sois docentes de un grupo de 26 alumnos de Matemáticas de 3º de ESO en un instituto de una población grande. El instituto está ubicado en un barrio periférico y recibe alumnado de 3 centros adscritos, uno de los cuales es un centro de máxima complejidad. El proyecto educativo del centro establece que los grupos tienen que ser heterogéneos de forma que en todos ellos haya una distribución equivalente en cuanto a chicos y chicas y niveles competenciales logrados en los cursos anteriores. En una de las 4 horas semanales de la materia tenéis un profesor de refuerzo al aula. En la programación de 3º de ESO habéis recogido el cálculo de longitudes y superficies y tenéis prevista una sesión donde quede patente la diferencia entre las magnitudes lineales y las cuadráticas.
Cuestiones previas
  1. La Regla de Barrow permite calcular superficies mediante integrales definidas, a pesar de que es un método que no siempre es factible. Indicar, en un contexto de 2º de bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología, en qué casos utilizaríais la regla de Barrow y, en el caso en que no sea factible, qué método numérico podríais utilizar.
  2. Calcular el área de la superficie sombreada:
  3. Determinar el volumen del paraboloide \(z = x^2+y^2\) entre los planos \(z = 0\) y \(z = 16\).
Elaboración de la situación de aprendizaje
  1. Describís en detalle el desarrollo de una sesión con alumnas de 3º ESO, en que también participe el profesor de refuerzo, de forma que haya alguna actividad que obligue los alumnos a resolver una situación donde quede patentiza la diferencia entre las magnitudes lineales y las cuadráticas. Indicar las actividades de aprendizaje propuestas, la organización y el trabajo de los alumnos, así como las estrategias para garantizar la participación de todo el alumnado.
  2. Concretar los aprendizajes competenciales que prevéis que adquieran los alumnos en esta sesión.
  3. Concretar elementos relacionados con la evaluación de los aprendizajes previstos a la sesión.

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Andalucía 2021-P5

a) Halle el volumen del toro de revolución que se obtiene al girar la circunferencia \((x -a)^2 + y^2 = b^2,\) \( (0 \lt b \lt a)\) alrededor del eje de ordenadas.

b) Siendo $$a_n = \frac{n^k}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}$$ el término general de una serie, se pide:

b.1) Sustituye el exponente \(k\) por el mayor número entero compatible con la condición de ser convergente la serie \(\sum_{n=1}^\infty a_n\).
b.2) Halle la suma de la serie para dicho \(k\).

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Castilla y León 2021-T12-P2

Tres cilindros iguales de radio \(R\), con \(0 \lt R \lt 1,\) están colocados de modo que sus ejes forman un triángulo equilátero de lado \(2 \sqrt{3}\) metros. Calcular el volumen limitado por los tres cilindros y los dos planos tangentes a los tres cilindros.

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Fórmula de los tres niveles

La regla de Simpson consiste en una aproximación de una integral definida \(\def\D{\mathrm {\,d}}\)$$\int_{x_1}^{x_2} f(x) \D x \approx \frac{x_2 -x_1}{6} \left [ f(x_1) + 4 f\left ( \frac{x_1 + x_2}{2} \right ) + f(x_2) \right ]$$ Este valor aproximado se obtiene al interpolar la función \(f\) por un polinomio interpolador de Lagrange de grado dos que pase por los puntos de abscisas \(x_1,\) \(m = \frac{x_1 + x_2}{2},\) \(x_2\) en el intervalo de integración. Es el promedio ponderado de las imágenes \(f(x_1),\) \(f(m)\) y \(f(x_2),\) con pesos respectivos \(1, 4, 1,\) multiplicado por la longitud del intervalo. Cuando la función \(f\) es polinómica de grado dos, la aproximación es exacta.

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I. Baleares. Mallorca 2021-E2-P1

Un punto \(A\) se encuentra a distancia \(d\) del centro \(O\) de un semicírculo de radio \(r.\) Escribe el radio \(r\) de este semicírculo en función de \(d\) para que al girar toda la figura alrededor de \(AO\) el volumen engendrado por el triángulo \(AOC\) sea igual al de la esfera, siendo \(AC\) tangente al semicírculo y \(C\) un punto de la semicircunferencia.

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TribunalCero – P3 (analítica)

Dada una pirámide regular de base cuadrada y altura el doble del lado de la base, determine la relación entre los volúmenes de las dos figuras en que queda dividida por un plano que, pasando por un lado de la base, corta a la pirámide según un polígono de perímetro mínimo.

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