You dont have javascript enabled! Please enable it! serie geométrica archivos - Cuadernos | El cartapacio

I. Baleares 2023-B-E4

Sea \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión de números reales con límite \(\alpha \in \mathbb R.\)

  1. Demuestre que \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n-a_{n+1})=a_1-\alpha.\)
  2. Demuestre que \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{3^n+n^2+n}{3^{n+1} \cdot n \cdot (n+1)} = \displaystyle\frac{1}{2}\)

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Cantabria 2012-P3

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

  1. Demuestre que si \(f \colon [0,1] \to \mathbb R\) es una función continua, entonces \(\require{AMSmath}\DeclareMathOperator{\sin}{sen}\)$$\int_0^\pi x \, f \big ( \sin(x) \big ) \D x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f \big ( \sin(x) \big ) \D x.$$
  2. Calcule \(\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x-[x]}{2^{[x]}} \D x,\) donde \([x]\) es la parte entera del número real \(x,\) esto es, el mayor número entero no superior a \(x.\)

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Com. Valenciana 2006-P4

La probabilidad de que una pareja tenga \(n\) hijos es \(\alpha \, p^n,\) con \(0 \lt p \lt 1,\) \(n \ge 1,\) \(0 \lt \alpha \, p \lt 1.\) Supongamos que la distribución de sexos entre los hijos son igualmente probables. Obtén

  1. La probabilidad de que tengan al menos un hijo.
  2. La probabilidad de que no tengan hijos.
  3. La probabilidad de que una pareja tenga \(k\) hijos varones sabiendo que tiene \(n\) hijos.
  4. La probabilidad de que una pareja tenga \(k\) hijos varones.
  5. La probabilidad de que la pareja tenga \(3\) hijos sabiendo que tiene \(1\) hijo varón.
  6. El número esperado de hijos.

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I. Baleares. Menorca 2021-E1-P2

Dos personas \(A\) y \(B\) juegan una partida de tenis entre ellos. Para ganar un juego en tenis se han de ganar un mínimo de cuatro puntos y se ha de conseguir que la diferencia de puntos entre los dos jugadores sea de dos o más puntos. En este partido en concreto, la probabilidad de que el jugador \(A\) gane un punto es constante e igual a \(p\) (y, por tanto, la probabilidad de que el jugador \(B\) gane un punto es constante e igual a \(q = 1 -p\)). Calcula:

  1. La probabilidad de que \(A\) gane un juego por \(4 -0,\) \(4 -1\) y \(4 -2\).
  2. La probabilidad de que se llegue a un resultado \(3 -3\) (deuce).
  3. La probabilidad de que \(A\) gane un juego sabiendo que el marcador es \(3 -3\) y que se ha de ganar por dos puntos de diferencia.
  4. La probabilidad de que \(A\) gane un juego, con cualquier resultado.

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Aragón 2021-E1-P5

Este ejercicio tiene dos apartados:
a) Una urna contiene \(a\) bolas blancas y \(b\) bolas negras. Dos jugadores \(A\) y \(B\), extraen sucesivamente y con reemplazamiento una bola de la urna. El juego se detiene cuando \(A\) extrae una bola blanca (siendo \(A\) el ganador del juego) o cuando \(B\) extrae una bola negra (siendo \(B\) el ganador del juego). Se supone que el primer jugador en extraer bola es \(A\). Calcular la probabilidad de que \(A\) gane la partida y la probabilidad de que \(B\) gane la partida. (1,5 puntos)
b) La función de densidad de una variable aleatoria es $$f(x) = \begin{cases} ax^2+bx, & 0 \lt x \lt 2 \\ 0, & \text{en el resto}. \end{cases}$$ Sabiendo que \(P \left ( \frac{1}{2} \lt X \lt 1 \right ) = 0{,}16666,\) determinar \(a\) y \(b.\)

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Madrid 2021-P1

Dos arqueros \(A\) y \(B\) participan en una competición clasificatoria. Mediante un sorteo previo, se decide que inicia la actuación el tirador \(A\).
\(A\) dispara una flecha y se clasifica si da en el centro de la diana. Si no lo consigue, es \(B\) quien toma la inciativa y gana la competición si logra dar en el centro de la diana. En caso contrario, vuelve a tirar \(A\) y se repite el proceso descrito anteriormente. De este modo se van alternando los tiros hasta que uno acierta con el centro de la diana, momento en  el que termina la competición con la clasificación del arquero que lo ha conseguido.
En cada uno de los tiros, \(A\) y \(B\) tienen, respectivamente, probabilidades \(p\) y \(q\) de alcanzar el centro de la diana.
a) Hallar la probabilidad de que el arquero \(A\) se clasifique.
b) Calcular la probabilidad de que sea el arquero \(B\) quien se clasifique.
c) ¿Qué condición han de verificar \(p\) y \(q\) para que el arquero \(B\) tenga ventaja sobre \(A\)? ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra?

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Castilla y León 2004

Tres personas \(A,\) \(B,\) y \(C\) tiran sucesivamente y en este orden un dado. La primera persona que saque un \(6\) gana.
a) ¿Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar?
b) Calcular la probabilidad de que el juego termine en el décimo lanzamiento y de que la persona \(C\) saque siempre la suma de lo que acaban de sacar los jugadores \(A\) y \(B\) en las tiradas inmediatamente anteriores.

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