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Madrid 2023-Estab-P4

Consideremos las siguientes bases de \(\mathbb R^2\colon\)\(\{ e_1=(1,0),e_2=(0,1) \}\) y \(\{ f_1=(1,3),f_2=(2,5) \}.\)

  1. Hallar la matriz \(Q\) de cambio de base de \(\{f_i\}\) a \(\{ e_i \}.\)
  2. Verificar que se cumple \(Q=P^{-1}\) siendo \(P\) la matrix de cambio de base de \(\{ e_i \}\) a \(\{ f_i \}.\)
  3. Mostrar que \([T]_f = P^{-1} [T]_e P,\) para el operador \(T\) sobre \(\mathbb R^2\) definido de la forma: \(T(x,y)=(2y,3x-y).\)

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I. Baleares. Ibiza 2022-A-E3

Sea \(\mathcal P_2(x)\) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que \(2.\)

  1. Calcula \(a,b,c\) para que el siguiente polinomio pertenezca a \(\mathcal P_2(x).\) $$p(x) = \frac{x^3+ax^2+bx+c}{x-1} + \frac{x^3+bx^2+cx+a}{x+1}+\frac{x^3+cx^2+ax+b}{x-2}$$
  2. Demuestra que \(\mathcal B = \{ x^2+x+1, x^2-1,p(x) \}\) es una base de \(\mathcal P_2(x).\)
  3. Calcula las coordenadas de \(q(x) = 2x^2+3x\) en esta base.

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Cambio de base

Consideremos el espacio vectorial \(\def\vecbf#1{\mathbf {\vec {#1\,}}}\)\(\mathbb V\) sobre el cuerpo de escalares \(\mathbb K.\) Tomaremos \(\mathcal B\) y \(\mathcal {\widehat B},\) dos bases. Para un vector \(v \in \mathbb V,\) nombraremos \((v)_{\large\ast}\) a la matriz  columna con las coordenadas de \(v\) en la base subindicada \(\ast\). Sabemos que el cambio de la base \(\mathcal B\) a la base \(\mathcal {\widehat B},\) viene dado por una matriz \(M_{\mathcal B, \mathcal {\widehat B}}\) regular que tiene por columnas las coordenadas de los vectores de la base \(\mathcal B\) cuando se expresan en la base \(\mathcal {\widehat B}\) de manera que \((v)_\mathcal {\widehat B} = M_{\mathcal B, \mathcal {\widehat B}} \,  (v)_\mathcal B.\)

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C. F. Navarra 2021-COVID-P2

Sea \(\mathbb P_3(t)\) el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que \(3\) en la variable \(t.\) Se considera la aplicación: $$f : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb P_3(t) \text{ dada por } f(x,y,z) = x \, t^3 + y \, t + (y + z).$$

a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos {0{,}5}\) Demostrar que es una aplicación lineal.
b) \(\puntos {0{,}5}\)Hallar la matriz coordenada de \(f\) respecto de las bases canónicas de \(\mathbb R^3\) y \(\mathbb P_3(t)\).
c) \(\puntos {0{,}75}\) ¿Es \(f\) biyectiva? Razónalo.
d) \(\puntos {0{,}75}\) Hallar la matriz coordenada de \(f\) respecto de las bases \(\mathcal B = \{ (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) \}\) y \(\mathcal B^\prime = \{ t^3, t^2 + t, t + 1, 1 \}.\)

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Galicia 2021-E1-P1

Sea \(P_3(x)\) el espacio vectorial de los polinomios de grado  menor o igual que \(3\) con coeficientes reales. Sea \(f : P_3(x) \rightarrow P_3(x)\) definida por $$f \big ( p(x) \big ) = \beta p(x) + p'(x), \quad \beta \in \mathbb R$$ a) Probar que \(f\) es una aplicación lineal.
b) Hallar su núcleo, su imagen y clasificar \(f\) según los valores de \(\beta\).
c) Suponiendo \(\beta = 1,\) hallar la matriz asociada a \(f\) cuando se considera en \(P(x)\) la base \(\mathcal B = \lbrace 2, x + 1, x^2 -1, x^3 + 1 \rbrace\) tanto en el espacio inicial como en el final.

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C. F. Navarra 2021-Euskera-P2

Sea \(\mathcal B = \{ u_1, u_2, u_3, u_4 \}\) una base del \(\mathbb R -\text{espacio}\) vectorial \(V.\) Consideremos los conjuntos \(\mathcal B^{\,\prime} = \{v_1, v_2, v_3, v_4 \}\) y \(\mathcal B^{\,\prime\prime} = \{ w_1, w_2, w_3, w_4 \},\) donde $$v_1 = (2, −2, 0, 1), v_2 = (1, 1, 1, 0), v_3 = (3, 0, 1, −1), v_4 = (0, −2, −1, 1) \\ w_1 = (0, 1, 0, 3), w_2 = (−1, 1, 0, 0), w_3 = (−2, 0, −1, 2), w_4 = (−1, −1, −1, 1) $$ están definidos en la base \(\mathcal B\).
a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos {0{,}75}\) Compruebe que \(\mathcal B^{\,\prime}\) y \(\mathcal B^{\,\prime\prime}\) son bases de \(V\).
b) \(\puntos {1}\) Encuentre la matriz del cambio de base \(\mathcal B^{\,\prime}\) a \(\mathcal B^{\,\prime\prime}\).
c) \(\puntos {0{,}75}\) Calcule las coordenadas del vector \(x\) con respecto a \(\mathcal B^{\,\prime},\) sabiendo que las coordenadas con respecto a \(\mathcal B^{\,\prime\prime}\) son \((0, −6, 3, −5).\)

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I. Baleares. Menorca 2021-E1-P5

En \(\mathbb R^3\) se considera el plano \(\pi\) de ecuación \(x + y + z = 0.\) Se considera la transformación\(f : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3\) que a cada punto \(P\) le hace corresponder un punto \(f(P)\) de manera que el punto medio del segmento \(\overline{P \, f(P)}\) es el punto \(P^{\prime}\) simétrico de \(P\) respecto del plano \(\pi\).
a) Interpreta geométricamente la transformación \(f\).
b) Determinar una base ortonormal en la cual la matriz asociada a \(f\) sea diagonal. Determina también la matriz asociada a \(f\) en esta base.
c) Calcula la matriz de \(f\) en la base canónica.
d) Se considera el punto \(P\) de coordenadas \(P(2,2,3).\) Calcula las coordenadas del punto \(f^{10}(P)\).
e) Se considera la cuestión: «A partir del punto \(\mathit {P(2,2,3)},\) calcula las coordenadas de \(\mathit {f(P)}\)». Ubica esta cuestión en el curriculo de bachillerato, resuelve la cuestión en este contexto de manera detallada e indicando todos los conocimientos previos necesarios.

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I. Baleares. Mallorca 2021-E2-P3

Sea \(A=(a_{ij}) \in \mathcal M_{n \times n}(K),\) definimos traza de la matriz \(A:\) \(\def\tr#1{\mathop {tr} \left ( #1 \right )} \tr A = \sum_{i=1}^n a_{ii}.\) Demuestra que:
a) \(\tr {AB} = \tr{BA}\) donde \(A, B \in \mathcal M_{n \times n}(K)\).
b) Si \(A\) y \(B\) son semejantes, entonces \(\tr A = \tr B\).
c) ¿La definición de traza de un endomorfismo \(f\) de \(E\) (\(\text{dim }E = n\)) es \(\tr f = \tr A\) donde \(A\) es una matriz asociada a \(f\) es correcta?
d) Si \(P\) es una matriz real \(2 \times 2\) y consideramos el endomorfismo \(f\) de \(\mathcal M_{2 \times 2}(\mathbb R),\) definido por \(f(A) = AP,\) entonces \(\tr f = 2 \cdot \tr P\).

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Andalucía. Sevilla 1996-P1

Sea \(P_n\) el espacio vectorial de los polinomios reales de variable real, de grado menor o igual que \(n\).
a) Demostrar que \(P=\{p_0, p_1,\dots,p_n\},\) donde \(p_i(x) = x^i,\) es una base de \(P_n\).
b) Demostrar que \(Q=\{q_0,q_1,\dots,q_n\},\) donde \(q_i(x)= (1+x)^i,\) es una base de \(P_n\).
c) Expresar las ecuaciones del cambio de la base \(Q\) a la base \(P\).
d) Probar que para \(k \le n,\) \(\require{AMSmath}\quad\displaystyle\binom {k}{k} + \binom {k+1}{k} + \dots + \binom {n}{k} = \binom {n+1}{k+1}\).
e) Calcular las coordenadas de \(R(x)\) en la base \(P\) siendo \(R(x) = (1,1,\dots,1)\) en la base \(Q.\)

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