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Andalucía 2023-P5

  1. Un grupo de alumnos de 1.º de la ESO va a visitar las instalaciones deportivas de un equipo de baloncesto. Para dinamizar la visita, el club ha preparado una actividad para el alumnado. Sobre la cancha han colocado cierto número de pelotas de baloncesto. Si cada pelota dispuesta la toma un alumno distinto, quedaron \(n\) alumnos sin haber cogido ninguna pelota. Sin embargo, si se montan equipos de \(n\) alumnos alrededor de cada pelota dispuesta, quedarán libres \(n\) pelotas. ¿Cuántas pelotas ha dispuesto el equipo de baloncesto para organizar la actividad?
  2. Dada la función \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{\ln x}\),
    1. Represéntela.
    2. Calcule, según el valor de \(a \in \mathbb R,\) el número de soluciones de la ecuación $$x-a\ln x = 0.$$

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Cataluña 2021-B-P1

Contexto
Sois docentes de un grupo de 30 alumnos de Matemáticas de 4º de ESO en un instituto que es el único centro educativo de educación secundaria situado en una población pequeña. El proyecto educativo del centro establece que los grupos tienen que ser heterogéneos de forma que en todos ellos haya una distribución equivalente en cuanto a chicos y chicas y niveles competenciales logrados en los cursos anteriores. En la programación de Matemáticas de 4º de ESO tenéis que continuar con las ecuaciones de 4º grado, introducidas en 3º de ESO, de forma que tenéis previsto dedicar varias sesiones a trabajar con los alumnos la resolución de ecuaciones de segundo grado por procedimientos geométricos, a la manera de Al-Khwarizmi (780 − 850).
Cuestiones previas
  1. El matemático Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780-850), en su tratado de álgebra Kitab al-Mukhtasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala, entre otros cuestiones, trata de resolver problemas de reparto de herencias mediante ecuaciones lineales y cuadráticas. A pesar de que no utilizaba la notación actual sino sólo palabras, Al-Khwarizmi también presentaba construcciones geométricas para justificar las soluciones de las ecuaciones de segundo grado. Explicar en que consiste el método geométrico de resolución de ecuaciones de segundo grado por procedimientos geométricos. [1]
  2. A lo largo de la Historia se han desarrollado diferentes técnicas para resolver ecuaciones. El matemático Bernard Bolzano (1781-1848) demostró el que se denomina Teorema de Bolzano. Enunciadlo y explicar cómo podríais aplicarlo para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones de segundo grado.
  3. Considerar la función \(\require{AMSmath}\DeclareMathOperator{\arctan}{arctg}\)$$f(x) = x+\E^x+\arctan(x).$$ Demostrar que la ecuación \(f(x) = 0\) tiene una única solución.
Elaboración de la situación de aprendizaje
  1. Describir en detalle el desarrollo de una sesión de resolución de ecuaciones de 2º grado por procedimientos geométricos, con alumnos de 4º de ESO, indicando las actividades de aprendizaje propuestas, la organización y el trabajo de los alumnos, así como las estrategias para garantizar la participación de todo el alumnado.
  2. Concretar los aprendizajes competenciales que prevéis que adquieran los alumnos en esta sesión.
  3. Concretar elementos relacionados con la evaluación de los aprendizajes previstos a la sesión.

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I. Baleares. Mallorca 2022-B-P1

Consideremos la ecuación en el cuerpo \(\mathbb C\) de los números complejos: $$z^3+(-1-2\I)z^2+(-1+9\I)z-2(1+5\I)=0.$$

  1. Demuestre que tiene solución real y calcúlela.
  2. Encuentre las demás soluciones de la ecuación.
  3. Demuestre que el triángulo que determinan los afijos de las tres soluciones de la ecuación es isósceles.

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