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Madrid 2016-P4

Tres máquinas \(A, B, C\) producen una barra metálica. La máquina \(A\) las produce con una longitud que se distribuye siguiendo una normal de parámetros \(\mu=165\) y \(\sigma = 5.\) La máquina \(B\) las produce con una longitud que se distribuye siguiendo una normal de parámetros \(\mu=175\) y \(\sigma = 5.\) La máquina \(C\) las produce con una longitud que se distribuye siguiendo una normal de parámetros \(\mu=170\) y \(\sigma = 5.\) (Todas las unidades son mm.)

  1. El \(50\%\) de la producción la hace la máquina \(A,\) el \(20\%\) la produce la máquina \(B\) y el resto, la máquina \(C.\) Elegimos tres piezas al azar de una de las máquinas y sabemos que miden más de \(173\) mm cada una. Calcular la probabilidad de que todas las piezas sean de la máquina \(C\).
  2. Elegimos \(100\) piezas al azar de la máquina \(B,\) de forma independiente unas de otras, calcular la probabilidad de que al menos \(60\) midan más de \(173\) mm.

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Madrid 2016-P3

a) Sea \(a\) un número real positivo. Hallar la longitud de la curva $$\left ( \frac{x}{a} \right )^{2/3} + \left ( \frac{y}{a} \right )^{2/3} = 1.$$
b) Sea \(r \gt 1\) y \(f\) una función que en un entorno de cero verifica \( \left \vert f(x) \right \vert \le \vert x \vert^r.\) Hallar la derivada de \(f\) en \(x=0.\)

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