You dont have javascript enabled! Please enable it! Análisis archivos - Cuadernos | El cartapacio

Andalucía 2023-P2

  1. En un establecimiento comercial la salida diaria de cierto tipo de electrodoméstico viene descrita por una variable aleatoria \(X\) con soporte \({\cal D}_X = \{0,1,2,3,\dots,n\}.\) Se sabe que un \(100\,a\%\) de los días, \(a \in [0,1],\) no se vende ningúna aparato, mientras que la probabilidad de vender un número fijo de ellos es directamente proporcional a ese número.
    1. Demuestre que se verifica \(\displaystyle\sum_{i=1}^n i^2= \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad n \in \mathbb N.\)
    2. Calcule la ley de probabilidad asociada al fenómeno aleatorio descrito: función de masa de probabilidad y función de distribución.
    3. Si el vendedor observa que, por término medio, cada mes (30 días) vende \(1485\) aparatos y el \(90\%\) de los días tiene alguna venta, ¿cuántos electrodomésticos puede vender, como máximo, cada día? ¿Cuál es esa probabilidad?
  2. Halle el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje \(OX,\) la región del plano que resulta de la intersección del interior de \(x^2+y^2=17\) con el exterior de \(x^2+y^2=17x.\)

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I. Baleares 2023-B-E4

Sea \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión de números reales con límite \(\alpha \in \mathbb R.\)

  1. Demuestre que \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n-a_{n+1})=a_1-\alpha.\)
  2. Demuestre que \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{3^n+n^2+n}{3^{n+1} \cdot n \cdot (n+1)} = \displaystyle\frac{1}{2}\)

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Madrid 2023-P3

  1. Sea \(f: \mathbb R \to \mathbb R\) una función que cumple las siguientes propiedades: $$f(x+y) = f(x) \cdot f(y), \quad \forall x,y \in \mathbb R, \\ \lim_{x \to 0}\frac{f(x)-1}{x} = 1.$$ Demostrar que \(f(x)\) es derivable \(\forall x \in \mathbb R.\) Obtener una expresión explícita de la función \(f.\)
  2. Demostrar que para todo número natural \(n\) se verifica: $$\frac{1}{n+1} \lt \ln(n+1)-\ln(n) \lt \frac{1}{n}.$$ Nota: \(\ln\) significa logaritmo neperiano.
  3. Demostrar que para todo número natural \(n\) se verifica: $$\left ( 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n+1} \right )-1 \lt \ln(n+1) \lt 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}$$

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Madrid 2023-Estab-P2

Se da la siguiente curva en coordenadas polares: $$r=2-2\cos\theta.$$

  1. ¿Cómo se denomina a esta familia de curvas?
  2. Realizar la representación gráfica de la curva de forma aproximada y a mano alzada.
  3. Discutir sus simetrías.
  4. Calcular la longitud de arco total de dicha curva.

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La Rioja 2023-P1

En el pueblo de Samos de Grecia se está construyendo una zona de juego formada por una región \(R_1\) y en su interior otra región \(R_2.\) El juego consiste en hacer lanzamientos con los ojos vendados con dardos. Se gana la partida si cae en \(R_2\) y se pierde si cae en \(\require{AMSsymbols}\)\(R_1 \smallsetminus R_2.\) Si cae fuera de \(R_1,\) se considera lazamiento no válido, se ignora, ni se gana ni se pierde y se repite hasta que sea válido. Como el lanzamiento es a ciegas, se considera que la probabilidad de que caiga en cualquier sitio de \(R_1\) es la misma.

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