You dont have javascript enabled! Please enable it! serie numérica archivos - Cuadernos | El cartapacio

I. Baleares 2023-B-E4

Sea \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión de números reales con límite \(\alpha \in \mathbb R.\)

  1. Demuestre que \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n-a_{n+1})=a_1-\alpha.\)
  2. Demuestre que \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{3^n+n^2+n}{3^{n+1} \cdot n \cdot (n+1)} = \displaystyle\frac{1}{2}\)

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Andalucía 2021-P5

a) Halle el volumen del toro de revolución que se obtiene al girar la circunferencia \((x -a)^2 + y^2 = b^2,\) \( (0 \lt b \lt a)\) alrededor del eje de ordenadas.

b) Siendo $$a_n = \frac{n^k}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}$$ el término general de una serie, se pide:

b.1) Sustituye el exponente \(k\) por el mayor número entero compatible con la condición de ser convergente la serie \(\sum_{n=1}^\infty a_n\).
b.2) Halle la suma de la serie para dicho \(k\).

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Castilla-La Mancha. Toledo 2000-P4

Se consideran las funciones \(f_n(x) = x^n (1 -x)^{1/2}\) con \(n \gt 0\) y sea \(A_n\) el área que encierra la gráfica de la función \(f_n\) y el eje \(OX.\) Probar que la suma de todas las \(A_n\) es convergente y calcular su valor.

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Galicia 2018-E1-P3

Las circunferencias \(C_0, C_1, \dots, C_n,\dots\) son tangentes a las rectas \(\bf a\) y \(\bf b\) que se cortan en \(\bf P\) y cada \(C_n\) es tangente a la siguiente \(C_{n+1},\) de menor radio. Llamaremos \(O_n\) al centro de la circunferencia \(C_n,\) \(r_n\) a su radio, \(A_n\) al punto de tangencia con la recta \(\bf a,\) \(T_n\) a su punto de tangencia con \(C_{n+1}\) y \(d_n\) a la distancia de \(P\) a \(O_n.\) Sea \(r_0=3,\) \(d_0=12.\)

a) Exprese \(r_n\) y \(d_n\) en función de \(n\).
b) Calcule el límite de la suma de las áreas de todos los círculos.
c) Demuestre que los triángulos de vértices \(A_n,\) \(T_n,\)  \(A_{n+1}\) son semejantes y rectángulos en el vértice \(T_n.\)

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I. Baleares. Ibiza 2018-E2-P3

1. Calcular el límite de la sucesión $$a_n = \frac{\frac{n}{1} + \frac{n -1}{2} + \frac{n -2}{3} + \dots + \frac{3}{n -2} + \frac{2}{n -1} + \frac{1}{n}}{\log_7 n!}$$ para \(n \ge 2\).
2. Estudiar la convergencia de la serie \(\displaystyle \sum_{n\ge1} \left( \sqrt[n]{e} -1 -\frac{1}{n}\right)\)

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Aragón 2014-E1-P3

Se tienen dos semicircunferencias iguales que hacen contacto una con otra de modo que sus diámetros se encuentran en una misma recta. Trazamos a éstas una tangente común e inscribimos una circunferencia que haga contacto con esta tangente y las dos semicircunferencias dadas; luego, inscribimos una segunda circunferencia que haga contacto con la primera y las dos dadas, a continuación trazamos una tercera circunferencia que haga contacto con la segunda y las dos dadas y así sucesivamente hasta el infinito. Utilizando esta construcción, demostrar que, cuando \(n\) aumenta
inconmensurablemente, la suma $$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}$$ tiende a la unidad.

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Series: sumas con infinitos sumandos

Hay un tipo especial de «sumas con puntos» que tienen infinitos términos, llamadas series infinitas o simplemente series. Por ejemplo, la «serie armónica» $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{n}+\ldots$$ donde los puntos suspensivos finales indican que siguen sumándose términos indefinidamente. Sigue leyendo Series: sumas con infinitos sumandos

La notación sigma

La notación sigma es una forma abreviada de expresar sumas, sobre todo las que omiten, con puntos suspensivos, varios de los sumandos; a veces, denominadas «sumas con puntos». El símbolo \(\sum\) que se utiliza en esta notación es la letra griega «sigma» mayúscula. A una expresión que contiene este símbolo se le denomina sumatorio (RAE ).

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