You dont have javascript enabled! Please enable it! función integral archivos - Cuadernos | El cartapacio

I. Baleares. Menorca 2022-B-E4

Se considera la función \(f:\mathbb R \to \mathbb R,\) continua en toda la recta real. Definimos la función \(G(x) = \displaystyle \int_{x-1}^{x+1} f(t) \D t.\)

  1. Demuestre que \(G\) es una función continua en todo \(\mathbb R.\)
  2. Determine \(G’\) en términos de \(f.\)
  3.  Si \(\lim_{x\to\infty} f(x) = a,\) estudie la existencia de \(\lim_{x\to\infty} G(x)\) y determine su valor si es el caso.
  4. En el caso de que \(f(t)=\lon{t},\) determine la expresión de \(G(x)\) y de \(G'(x).\)

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Ceuta 2021-P4

  1. Demuestra que la sucesión siguiente, con \(n\in\mathbb N,\) converge y determina su límite. $$\begin{cases} a_1 &= 1 \\ a_{n+1} &= 2+\displaystyle\frac{a_n}{3}, \; n \ge 1\end{cases}$$
  2. Consideremos las funciones \(f(x) = x \cdot \E^{-x}\) y \(g(x) = 2-x \cdot \displaystyle\int_0^{2x}\E^{-t^2} \D t.\) Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-g(x)+2-x}{x \cdot \ln(1-x)}.$$

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I. Baleares. Ibiza 2021-E2-P2

Calcule la integral indefinida de la función dada por el desarrollo del siguiente determinante $$f(x) = \begin{vmatrix} 1 & \ln x & (\ln x)^2 & (\ln x)^3 \\ 1 & \ln x^2 & (\ln x^2)^2 & (\ln x^2)^3 \\ 1 & \ln x^3 & (\ln x^3)^2 & (\ln x^3)^3 \\ 1 & \ln x^4 & (\ln x^4)^2 & (\ln x^4)^3 \end{vmatrix}.$$

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Cataluña 2018-P2

Sea \(\require{AMSsymbols}\require{AMSmath}\DeclareMathOperator{\sen}{sen}\DeclareMathOperator{\arcsen}{arcsen}\)\(A(t)\) el área de la región del plano comprendida por el primer cuadrante entre la elipse de ecuación \(4x^2+y^2=1,\) la recta horizontal \(y=1\) y la recta vertical \(x=t,\) donde \(0 \leqslant t \leqslant 1/2.\) Calcula los valores máximo y mínimo absolutos de \(A(t)\) en el intervalo \(\left [ 0, \frac{1}{2} \right ].\)

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