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La Rioja 2023-P1

En el pueblo de Samos de Grecia se está construyendo una zona de juego formada por una región \(R_1\) y en su interior otra región \(R_2.\) El juego consiste en hacer lanzamientos con los ojos vendados con dardos. Se gana la partida si cae en \(R_2\) y se pierde si cae en \(\require{AMSsymbols}\)\(R_1 \smallsetminus R_2.\) Si cae fuera de \(R_1,\) se considera lazamiento no válido, se ignora, ni se gana ni se pierde y se repite hasta que sea válido. Como el lanzamiento es a ciegas, se considera que la probabilidad de que caiga en cualquier sitio de \(R_1\) es la misma.

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Cataluña 2021-B-P2

Contexto
Sois docentes de un grupo de 26 alumnos de Matemáticas de 3º de ESO en un instituto de una población grande. El instituto está ubicado en un barrio periférico y recibe alumnado de 3 centros adscritos, uno de los cuales es un centro de máxima complejidad. El proyecto educativo del centro establece que los grupos tienen que ser heterogéneos de forma que en todos ellos haya una distribución equivalente en cuanto a chicos y chicas y niveles competenciales logrados en los cursos anteriores. En una de las 4 horas semanales de la materia tenéis un profesor de refuerzo al aula. En la programación de 3º de ESO habéis recogido el cálculo de longitudes y superficies y tenéis prevista una sesión donde quede patente la diferencia entre las magnitudes lineales y las cuadráticas.
Cuestiones previas
  1. La Regla de Barrow permite calcular superficies mediante integrales definidas, a pesar de que es un método que no siempre es factible. Indicar, en un contexto de 2º de bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología, en qué casos utilizaríais la regla de Barrow y, en el caso en que no sea factible, qué método numérico podríais utilizar.
  2. Calcular el área de la superficie sombreada:
  3. Determinar el volumen del paraboloide \(z = x^2+y^2\) entre los planos \(z = 0\) y \(z = 16\).
Elaboración de la situación de aprendizaje
  1. Describís en detalle el desarrollo de una sesión con alumnas de 3º ESO, en que también participe el profesor de refuerzo, de forma que haya alguna actividad que obligue los alumnos a resolver una situación donde quede patentiza la diferencia entre las magnitudes lineales y las cuadráticas. Indicar las actividades de aprendizaje propuestas, la organización y el trabajo de los alumnos, así como las estrategias para garantizar la participación de todo el alumnado.
  2. Concretar los aprendizajes competenciales que prevéis que adquieran los alumnos en esta sesión.
  3. Concretar elementos relacionados con la evaluación de los aprendizajes previstos a la sesión.

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Canarias 2021-E1-S3

  1. Un jardinero va a plantar sus árboles en una zona, cuya área en \(\text{km}^2\) está  limitada por la función \(f(x) = \displaystyle \frac{4x}{x^2 + 4},\) el eje horizontal y las rectas \(x = m,\) \(x = n\) (\(m\) y \(n\) son las abscisas del máximo y del mínimo de \(f(x)\)). Deberá usted calcular dicha área, haciendo la gráfica de la función y detallando el desarrollo.
  2. Como el negocio marcha bien, decide plantar en otra parcela en forma de trapecio: siendo sus vértices MNPQ, MN el diámetro de una circunferencia y PQ una cuerda paralela a MN. Determine, en función del radio de la circunferencia \(r\), qué longitud debería tener la cuerda para que el área de la parcela fuera máxima.
  3. Nuestro jardinero necesita almacenar el agua para el regadío en depósitos cilíndricos metálicos con tapa y con capacidad para 160 litros. Calcula de manera razonada las dimensiones de los depósitos para que la chapa metálica empleada en su construcción sea mínima.
Intervención didáctica

Realice una intervención didáctica para un grupo de \(2.º\) de Bachillerato, sabiendo que es usted docente de un IES en un entorno urbano. Este grupo cuenta con \(27\) estudiantes, de los que \(3\) son repetidores.

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Galicia 2021-E2-P2

Dado un cuadrante \(AB\) de una circunferencia de centro \(O\) y radio \(R,\) determinar sobre él un punto \(M\) de modo que la superficie del cuadrilátero determinado por los radios \(OA,\) \(OB\) y por las tangentes al arco trazadas por \(M\) y por \(A\) tenga área mínima.

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Fórmula de los tres niveles

La regla de Simpson consiste en una aproximación de una integral definida \(\def\D{\mathrm {\,d}}\)$$\int_{x_1}^{x_2} f(x) \D x \approx \frac{x_2 -x_1}{6} \left [ f(x_1) + 4 f\left ( \frac{x_1 + x_2}{2} \right ) + f(x_2) \right ]$$ Este valor aproximado se obtiene al interpolar la función \(f\) por un polinomio interpolador de Lagrange de grado dos que pase por los puntos de abscisas \(x_1,\) \(m = \frac{x_1 + x_2}{2},\) \(x_2\) en el intervalo de integración. Es el promedio ponderado de las imágenes \(f(x_1),\) \(f(m)\) y \(f(x_2),\) con pesos respectivos \(1, 4, 1,\) multiplicado por la longitud del intervalo. Cuando la función \(f\) es polinómica de grado dos, la aproximación es exacta.

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