You dont have javascript enabled! Please enable it! función de densidad archivos - Cuadernos | El cartapacio

Andalucía 2023-P2

  1. En un establecimiento comercial la salida diaria de cierto tipo de electrodoméstico viene descrita por una variable aleatoria \(X\) con soporte \({\cal D}_X = \{0,1,2,3,\dots,n\}.\) Se sabe que un \(100\,a\%\) de los días, \(a \in [0,1],\) no se vende ningúna aparato, mientras que la probabilidad de vender un número fijo de ellos es directamente proporcional a ese número.
    1. Demuestre que se verifica \(\displaystyle\sum_{i=1}^n i^2= \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad n \in \mathbb N.\)
    2. Calcule la ley de probabilidad asociada al fenómeno aleatorio descrito: función de masa de probabilidad y función de distribución.
    3. Si el vendedor observa que, por término medio, cada mes (30 días) vende \(1485\) aparatos y el \(90\%\) de los días tiene alguna venta, ¿cuántos electrodomésticos puede vender, como máximo, cada día? ¿Cuál es esa probabilidad?
  2. Halle el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje \(OX,\) la región del plano que resulta de la intersección del interior de \(x^2+y^2=17\) con el exterior de \(x^2+y^2=17x.\)

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Galicia 2021-E1-P4

Sean \(b\) y \(c\) dos números comprendidos entre \(0\) y \(1\). Hallar la probabilidad de que la ecuación $$x^2 + 2b \, x + c = 0$$ tenga raíces reales en los casos:
1) Que los números se elijan al azar e independientemente.
2) Que la función de densidad del par \((b,c)\) sea: $$f(b,c) = \begin{cases} \frac{3}{2} (b^2 + c^2), &\text{si } b,c \in (0,1) \\[0.5em] 0, &\text{en otro caso.} \end{cases}$$

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I. Baleares. Menorca 2021-E2-P2

La duración de una bombilla (\(X\)) tiene una distribución de probabilidad con una función de densidad $$\def\E{\mathrm e}\def\D{\mathrm {d}}f(x) = \begin{cases} c \, \E^{-2x}, &\text{si } x \gt 0 \\ 0, &\text{si } x \le 0 \end{cases}$$ donde \(x\) está expresada en miles de horas y \(c\) es una constante positiva. Se pide:

  1. Determinar el valor de la constante \(c\).
  2. Calcular \(E(X)\) y \(V(X)\).
  3. Determinar la función de distribución de \(X\).
  4. Calcular la probabilidad de que una bombilla, que ya ha durado \(400\) horas, dure \(200\) horas más.
  5. Se encienden \(n\) bombillas de este tipo de manera simultánea para determinar su duración en funcionamiento. Se supone que las bombillas funcionan de manera independiente unas de otras y que su duración sigue la función de probabilidad anterior (es decir, son independientes e idénticamente distribuidas). Determina la función de densidad de la variable aleatoria \(Y\) que representa el tiempo de espera hasta que deja de funcionar la primera bombilla.

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I. Baleares. Mallorca 2021-E2-P4

El número de kilómetros diarios que recorre un ingeniero para inspeccionar empresas es una variable aleatoria con función de densidad $$f(x) = \begin{cases} k \, \text{e}^{-x}, &\text{si } x \in [0,2] \\ 0, & \text{si } x \not\in [0,2] \end{cases}$$ donde \(x\) representa el número de kilómetros expresados en centenas.

a) Calcula \(k\).
b) Obten la media de kilómetros que recorre en un día.
c) ¿Si los desplazamientos los efectúa durante \(150\) días al año, cuántos días tendrá que desplazarse más de \(150\) km?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que, teniendo una avería a \(50\) km, tenga asignado aquel día una ruta de menos de \(100\) km?

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I. Baleares. Ibiza 2021-E2-P4

Sea \(X\) una variable aleatoria con función de densidad $$f(x) = \begin{cases} k \, x \, e^{-x^2} & \text{si } x \gt 0 \\ 0 & \text{si } x \le 0 \end{cases}$$.
a) Encuentra el valor de \(k\).
b) Encuentra la función de distribución de la variable \(X\).
c) Encuentra \(P(-1 \le X \le 1)\).
d) Encuentra la media aritmética de \(X\).

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Aragón 2021-E1-P5

Este ejercicio tiene dos apartados:
a) Una urna contiene \(a\) bolas blancas y \(b\) bolas negras. Dos jugadores \(A\) y \(B\), extraen sucesivamente y con reemplazamiento una bola de la urna. El juego se detiene cuando \(A\) extrae una bola blanca (siendo \(A\) el ganador del juego) o cuando \(B\) extrae una bola negra (siendo \(B\) el ganador del juego). Se supone que el primer jugador en extraer bola es \(A\). Calcular la probabilidad de que \(A\) gane la partida y la probabilidad de que \(B\) gane la partida. (1,5 puntos)
b) La función de densidad de una variable aleatoria es $$f(x) = \begin{cases} ax^2+bx, & 0 \lt x \lt 2 \\ 0, & \text{en el resto}. \end{cases}$$ Sabiendo que \(P \left ( \frac{1}{2} \lt X \lt 1 \right ) = 0{,}16666,\) determinar \(a\) y \(b.\)

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C. F. Navarra 2021-P4

El tiempo, en minutos, que un documento espera en una cola de impresión es una variable aleatoria continua, \(\zeta,\) con la siguente función de densidad: $$f(x) = \begin{cases} kx, & \text{si } 0 \lt x \lt 5 \\ k(10 -x), & \text{si } 5 \lt x \lt 10 \\ 0, & \text{en el resto.} \end{cases}$$

a) Calcular el valor de \(k\). (0,5 puntos).
b) Calcular la probabilidad de que un documento tenga que esperar menos de  \(3\) minutos. (0,3 puntos).
c) Calcular la probabilidad de que un documento tenga que esperar más de \(9\) minutos. (0,3 puntos).
d) Calcular la probabilidad de que un documento tenga que esperar entre \(4\) y \(7\) minutos. (0,3 puntos).
e) Un documento lleva \(4\) minutos en la cola, ¿cuál es la probabilidad de que tenga que esperar al menos \(3\) minutos más? (0,3 puntos).
f) Un documento lleva \(6\) minutos en la cola, ¿cuál es la probabilidad de que tenga que esperar más de \(9\) minutos? (0,3 puntos).
g) Calcular el tiempo medio de espera. (0,5 puntos).

(Valoración del problema \(2{,}5/10\)).

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Ceuta 2018-P6

Una línea de autobuses tiene longitud \(l.\) La probabilidad de que un pasajero suba al autobús en las proximidades del punto \(x\) es proporcional a \(x\,(l -x)^2,\) y la probabilidad de que un pasajero que subió en el punto \(x\) baje en el punto \(y\) es proporcional a \((y -x)^r,\) siendo \(r \gt 0.\) Calcular:
a) Las constantes de proporcionalidad de ambas probabilidades.
b) La probabilidad de que un pasajero no suba al autobús antes del punto \(z\) del recorrido.
c) La probabilidad de que un pasajero que subió en el punto \(x\) descienda después del punto \(z\) del recorrido del autobús.

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I. Baleares. Mallorca 2019-E2-P3

Una variable aleatoria \(X\) tiene una función de densidad definida por $$f(x)=\frac{c}{x^2+1} \text{ donde } -\infty \lt x \lt \infty \text{ y } c \in \mathbb R.$$

a) Encontrar el valor de la constante \(c\).
b) Encontrar la probabilidad de que \(\frac{1}{3}  \le X^2 \le 1.\)

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Melilla 2018-P6

Sea \((X,Y)\) una variable aleatoria bidimensional continua. Sea \(f:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R\) la función definida como $$f(x,y) = \begin{cases} k \cdot (y -x), & 0 \le x \le y \le 2 \\ 0, & \text{en otro caso}\end{cases}$$

a) Determine el valor de \(k\) para que \(f\) sea función de densidad.
b) Halle la función de distribución asociada.

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