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Andalucía 2023-P1

  1. Se tienen \(n+1\) cajas idénticas con \(n\) bolas en cada caja. En la primera caja hay \(n\) bolas negras; en la segunda caja hay \(n-1\) bolas negras y \(1\) bola blanca; en la tercera, hay \(n-2\) bolas negras y \(2\) bolas blancas y así sucesivamente, hasta que en la última caja hay \(n\) bolas blancas. Se toma una caja al azar y de ella se extraen tres bolas de una vez.
    1. Calcule la probabilidad de que las tres bolas sean blancas.
    2. Suponiendo que, tras la extracción, las tres bolas son blancas, calcule el
      número de cajas que tiene que haber para que la probabilidad de que provengan las tres bolas blancas de las dos últimas cajas, sea igual a \(\frac{2}{3}.\)
  2. Dos varillas \(AB\) y \(BC\) de igual longitud y articuladas en \(B\) tienen fijo el extremo \(A.\) Si el extremo \(C\) se mueve sobre la recta \(AC,\) halle la ecuación del lugar geométrico de un punto \(P\) tomado en \(BC.\)

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I. Baleares 2023-A-E5

Dentro de una bolsa hay bolas indistinguibles al tacto, \(n\) de ellas de color negro y \(r\) de color blanco. Si las extraemos todas una detrás de otra de manera aleatoria, contesta razonadamente

  1. ¿Cuántas disposiciones diferentes se pueden dar?
  2. ¿En el caso de \(n = 4\) negras y \(r = 5\) blancas qué probabilidad hay de que al menos dos bolas negras salgan consecutivamente?
  3. ¿En el caso de \(n = 4\) negras y \(r = 11\) blancas qué probabilidad hay de que al menos dos bolas negras salgan consecutivamente?

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Madrid 2023-P4

Disponemos de \(N+1\) urnas numeradas. Cada una contiene \(N\) bolas, rojas o blancas, de tal manera que la urna \(k\) contiene \(k-1\) bolas blancas y \(N-k+1\) bolas rojas \((k = 1,2, \dots, N+1)\). Escogemos una urna al azar y extraemos sucesivamente con reemplazamiento \(n\) bolas.

  1. Encontrar la probabilidad de que todas las bolas extraídas sean blancas. Calcular el límite de esta probabilidad cuando N tiende a infinito.
  2. Si hacemos una extracción más, encontrar la probabilidad de que la bola \(n+1\) sea blanca, suponiendo que las \(n\) bolas escogidas con anterioridad eran  blancas. Calcular el límite de esta probabilidad cuando \(N\) tiene a infinito.

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Madrid 2023-Estab-P3

Una urna contiene 4 bolas rojas y 6 bolas blancas. Una segunda urna contiene 6 bolas rojas y 4 blancas.
Se traslada una bola de la primera urna a la segunda y a continuación se extrae una bola de la segunda urna.

  1. ¿Forman los sucesos «trasladar una bola roja» y «trasladar una bola blanca» de la primera urna a la segunda un sistema completo? Razonar la respuesta.
  2. Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.

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Cataluña 2021-A-P3

Contexto
Sois docentes de un grupo de 30 alumnos de Matemáticas de 4º de ESO en un instituto situado en una gran ciudad. Es un centro con una diversidad grande de alumnos que recoge alumnos provenientes, mayoritariamente, de 4 escuelas adscritas. El proyecto educativo del centro establece que los grupos tienen que ser heterogéneos en cuanto a chicos y chicas y niveles competenciales logrados. Dentro del tema de conceptos básicos de la probabilidad se ha planificado una sesión dedicada a juegos con dados, monedas, bolas de colores, bolas numeradas, etc., para experimentar, sistematizar la recogida de datos, su representación y calcular probabilidades empíricas con el uso de medios tecnológicos, como por ejemplo hojas de cálculo, y contrastar estos datos con un enfoque combinatorio. Se trata de contextualizar los conceptos de probabilidad, el origen de la teoría de probabilidad y su aplicación práctica en situaciones próximas.
Cuestiones previas
  1. Explicar qué aporta la teoría de la probabilidad al tratamiento del azar, conectando el cálculo de probabilidades con la combinatoria.
  2. Enunciar y relacionar el Teorema de la probabilidad total y el Teorema de Bayes. Valorar en qué situación es útil la aplicación del Teorema de Bayes, en un contexto de un trabajo de investigación de bachillerato.
  3. Una bolsa B1 contiene 3 bolas blancas y 2 bolas negras. Otra bolsa B2 tiene 2 bolas blancas y 4 bolas negras. Se tira una moneda ideal para elegir al azar una de las dos bolsas y se extrae una bola. Calcular la probabilidad:
    1. Que la extracción sea una bola blanca y de la primera bolsa.
    2. Que la extracción sea una bola blanca.
    3. Si la extracción ha sido una bola negra, que sea de la bolsa B2.
Elaboración de la situación de aprendizaje
  1. Describís en detalle el desarrollo de una sesión de cálculo de probabilidades, con alumnas de 4º de ESO, dedicada a juegos con dados, monedas, bolas de colores, bolas numeradas, etc., para experimentar, sistematizar la recogida de datos, su representación y calcular probabilidades empíricas con el uso de medios tecnológicos, como por ejemplo hojas de cálculo, y contrastar estos datos con un enfoque combinatorio. Indicar las actividades de aprendizaje propuestas, la organización y el trabajo de los alumnos, así como las estrategias para garantizar la participación de todo el alumnado.
  2. Concretar los aprendizajes competenciales que prevéis que adquieran los alumnos en esta sesión.
  3. Concretar elementos relacionados con la evaluación de los aprendizajes previstos a la sesión.

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I. Baleares. Ibiza 2022-A-E4

En una confitería hay \(6\) urnas que contienen \(14\) caramelos. Una tiene \(8\) caramelos de naranja y \(6\) de limón; dos contienen \(7\) de naranja y \(7\) de limón, y \(3\) contienen \(6\) de naranja y \(8\) de limón.Se elige al azar una urna y se extraen \(3\) caramelos sin reemplazamiento. Sabiendo que dos son de naranja y uno de limón, ¿cuál es la probabilidad de que la urna elegida contenga \(7\) caramelos de naranja y \(7\) de limón?

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I. Baleares. Menorca 2022-A-E3

Se dispone de dos urnas \(A\) y \(B\) con bolas blancas y bolas negras. En la urna \(A\) tenemos \(p\) bolas blancas y \(q\) bolas negras. En la urna \(B\) tenemos \(q\) bolas blancas y \(p\) bolas negras. Cogemos aleatoriamente una bola de la urna \(A\) y la pasamos a la urna \(B.\) Después, pasamos una bola de la urna \(B\) a la urna \(A\).

  1. Calcula la probabilidad de que, al hacer estas operaciones, las urnas queden con la misma composición que tenían inicialmente. Expresa el resultado en función de \(p\) y de \(q.\)
  2. Sabiendo que el número de bolas de cada urna es par, igual a \(2k,\) calcula cuál será la composición de las urnas para la que la probabilidad anterior sea máxima.
  3. Calcula esta probablidad de forma explícita.

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Melilla 2021-P3

Una urna contiene tres bolas blancas y cuatro bolas rojas. Tres bolas son transferidas aleatoriamente a una segunda urna vacía. Una bola es seleccionada al azar de la segunda urna, y resulta ser blanca. ¿Cuál es la probabilidad de obtener de esta segunda urna al menos una bola roja, al extraer las dos bolas restantes?

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Galicia 2021-E2-P4

Disponemos de dos urnas con \(N\) bolas cada una, numeradas de \(1\) a \(N\) en ambas. Se extrae simultáneamente una bola de cada urna y sin devolverlas repetimos esta operación hasta vaciar las urnas.

  1. Hallar la probabilidad de que en ninguna de las extracciones los números de las bolas coincidan.
  2. Hallar el límite de dicha probabilidad cuando \(N\) tiende a infinito.

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