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I. Baleares. Ibiza 2022-A-E1

Sea la función \(f(x) = \displaystyle\frac{x}{\E^{\lon{x-1}}}.\) Se pide:

  1. Estudiar la continuidad y derivabilidad de \(f.\)
  2. Estudiar la monotonía (crecimiento / decrecimiento) y los extremos (absolutos y relativos).
  3. Estudiar la curvatura (concavidad / convexidad) y los puntos de inflexión.
  4. Hacer un esbozo de la gráfica.

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I. Baleares. Menorca 2022-B-E5

La figura adjunta muestra tres cuadrados. El lado del cuadrado mayor mide \(1,\) los otros lados \(AC\) y \(DE\) miden \(x\) e \(y,\) respectivamente.

Determina los valores de \(x\) e \(y\) tales que el valor de la expresión \(x^2+y^2\) sea mínimo. ¿Cuál es el valor de este  mínimo?

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Galicia 2022-A-P2

Dadas dos esferas de radios \(r\) y \(R\) tales que la distancia entre sus centros es \(d,\) se sitúa un punto luminoso en la línea que une los centros de ambas esferas. En qué punto habrá que situarlo para que la suma de las superficies iluminadas en ambas esferas sea máxima.

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Canarias 2021-E1-S1

Un IES situado en una zona rural de la isla precisa renovar sus equipos informáticos: ordenadores, tablets y cañones de proyección. La empresa suministradora le ofrece los precios siguientes: cada ordenador cuesta \(495 ~€;\) cada tablet, \(105~€;\) y cada cañón, \(255~€.\) Necesitan comprar \(85\) artículos por lo que tendrán que solicitar una partida presupuestaria extraordinaria de \(20~175~€.\)

  1. Sabiendo que la suma de las tablets y los cañones de proyección excede en diez
    unidades al doble del número de ordenadores, plantee y resuelva de dos maneras distintas justificando y nombrando el método utilizado, el sistema de ecuaciones correspondiente para calcular el número de ordenadores, tablets y cañones de proyección que precisa comprar el centro educativo, recogiendo todo el procedimiento.
  2. Finalmente, la partida presupuestaria aprobada fue menor que la solicitada, sólo
    contempla la compra de ordenadores y tablets, siendo diez el número mínimo de
    ordenadores que se pueden comprar y quince la cantidad mínina de tablets que se pueden adquirir. Además, el séxtuplo del número de tablets que se compren más el quíntuplo del número de ordenadores, no puede exceder de 300 artículos, y el doble de las tablets que se adquieran más el número de ordenadores no puede exceder de 80 unidades. Plantee las restricciones correspondientes, represente la región factible asociada y calcule razonadamente el número de ordenadores y de tablets que el instituto debería comprar para obtener un aprovechamiento óptimo del presupuesto.
Intervención didáctica

Diseñe una intervención didáctica completa, inclusiva, razonada y fundamentada, para que, a través del modelo metodológico que estime más adecuado y utilizando los procedimientos analíticos, tecnológicos y gráficos que mejor se ajusten al problema planteado, concrete una secuencia de actividades de manera que el alumnado de un grupo de 2.º de Bachillerato que cursa Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales y en el que [/atex]7[/latex] alumnos/as tienen la materia pendiente de 1.º de Bachillerato, pueda resolver los problemas planteados permitiendo introducir los aprendizajes curriculares correspondientes al Bloque de contenidos al que hace referencia la situación  planteada.

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Canarias 2021-E1-S3

  1. Un jardinero va a plantar sus árboles en una zona, cuya área en \(\text{km}^2\) está  limitada por la función \(f(x) = \displaystyle \frac{4x}{x^2 + 4},\) el eje horizontal y las rectas \(x = m,\) \(x = n\) (\(m\) y \(n\) son las abscisas del máximo y del mínimo de \(f(x)\)). Deberá usted calcular dicha área, haciendo la gráfica de la función y detallando el desarrollo.
  2. Como el negocio marcha bien, decide plantar en otra parcela en forma de trapecio: siendo sus vértices MNPQ, MN el diámetro de una circunferencia y PQ una cuerda paralela a MN. Determine, en función del radio de la circunferencia \(r\), qué longitud debería tener la cuerda para que el área de la parcela fuera máxima.
  3. Nuestro jardinero necesita almacenar el agua para el regadío en depósitos cilíndricos metálicos con tapa y con capacidad para 160 litros. Calcula de manera razonada las dimensiones de los depósitos para que la chapa metálica empleada en su construcción sea mínima.
Intervención didáctica

Realice una intervención didáctica para un grupo de \(2.º\) de Bachillerato, sabiendo que es usted docente de un IES en un entorno urbano. Este grupo cuenta con \(27\) estudiantes, de los que \(3\) son repetidores.

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Galicia 2021-E2-P2

Dado un cuadrante \(AB\) de una circunferencia de centro \(O\) y radio \(R,\) determinar sobre él un punto \(M\) de modo que la superficie del cuadrilátero determinado por los radios \(OA,\) \(OB\) y por las tangentes al arco trazadas por \(M\) y por \(A\) tenga área mínima.

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I. Baleares. Menorca 2021-E2-P4

En un rio de amplitud \(a\) metros se ha construido un canal perpendicular de amplitud \(b\) metros. ¿Cuál ha de ser la longitud máxima que podrá tener un velero que navegue por el rio para poder pasar a navegar por el canal? (Nota: considerar el velero como un segmento).

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