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Cataluña 2021-A-P3

Contexto
Sois docentes de un grupo de 30 alumnos de Matemáticas de 4º de ESO en un instituto situado en una gran ciudad. Es un centro con una diversidad grande de alumnos que recoge alumnos provenientes, mayoritariamente, de 4 escuelas adscritas. El proyecto educativo del centro establece que los grupos tienen que ser heterogéneos en cuanto a chicos y chicas y niveles competenciales logrados. Dentro del tema de conceptos básicos de la probabilidad se ha planificado una sesión dedicada a juegos con dados, monedas, bolas de colores, bolas numeradas, etc., para experimentar, sistematizar la recogida de datos, su representación y calcular probabilidades empíricas con el uso de medios tecnológicos, como por ejemplo hojas de cálculo, y contrastar estos datos con un enfoque combinatorio. Se trata de contextualizar los conceptos de probabilidad, el origen de la teoría de probabilidad y su aplicación práctica en situaciones próximas.
Cuestiones previas
  1. Explicar qué aporta la teoría de la probabilidad al tratamiento del azar, conectando el cálculo de probabilidades con la combinatoria.
  2. Enunciar y relacionar el Teorema de la probabilidad total y el Teorema de Bayes. Valorar en qué situación es útil la aplicación del Teorema de Bayes, en un contexto de un trabajo de investigación de bachillerato.
  3. Una bolsa B1 contiene 3 bolas blancas y 2 bolas negras. Otra bolsa B2 tiene 2 bolas blancas y 4 bolas negras. Se tira una moneda ideal para elegir al azar una de las dos bolsas y se extrae una bola. Calcular la probabilidad:
    1. Que la extracción sea una bola blanca y de la primera bolsa.
    2. Que la extracción sea una bola blanca.
    3. Si la extracción ha sido una bola negra, que sea de la bolsa B2.
Elaboración de la situación de aprendizaje
  1. Describís en detalle el desarrollo de una sesión de cálculo de probabilidades, con alumnas de 4º de ESO, dedicada a juegos con dados, monedas, bolas de colores, bolas numeradas, etc., para experimentar, sistematizar la recogida de datos, su representación y calcular probabilidades empíricas con el uso de medios tecnológicos, como por ejemplo hojas de cálculo, y contrastar estos datos con un enfoque combinatorio. Indicar las actividades de aprendizaje propuestas, la organización y el trabajo de los alumnos, así como las estrategias para garantizar la participación de todo el alumnado.
  2. Concretar los aprendizajes competenciales que prevéis que adquieran los alumnos en esta sesión.
  3. Concretar elementos relacionados con la evaluación de los aprendizajes previstos a la sesión.

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I. Baleares. Ibiza 2022-A-E4

En una confitería hay \(6\) urnas que contienen \(14\) caramelos. Una tiene \(8\) caramelos de naranja y \(6\) de limón; dos contienen \(7\) de naranja y \(7\) de limón, y \(3\) contienen \(6\) de naranja y \(8\) de limón.Se elige al azar una urna y se extraen \(3\) caramelos sin reemplazamiento. Sabiendo que dos son de naranja y uno de limón, ¿cuál es la probabilidad de que la urna elegida contenga \(7\) caramelos de naranja y \(7\) de limón?

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Melilla 2021-P3

Una urna contiene tres bolas blancas y cuatro bolas rojas. Tres bolas son transferidas aleatoriamente a una segunda urna vacía. Una bola es seleccionada al azar de la segunda urna, y resulta ser blanca. ¿Cuál es la probabilidad de obtener de esta segunda urna al menos una bola roja, al extraer las dos bolas restantes?

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C. F. Navarra 2021-COVID-P4

Una enfermedad tiene una incidencia de un \(2\%\) en la población. Se ha creado un test con una fiabilidad del \(90\%\).
a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos {0{,}75}\) ¿Cuál es la probabilidad de dar positivo en \(2\) test si se realizan \(10\) test?
b) \(\puntos {0{,}75}\) ¿Cuál es la probabilidad de tener realmente la enfermedad si el resultado es positivo en el test?
c) \(\puntos {1}\) Si la enfermedad se extiende por la población y el \(70\%\) de los habitantes están enfermos, ¿cuál es la probabilidad de que al hacer \(5\) pruebas alguna sea positiva?

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Murcia 2021-P5

Tres fábricas manufacturan un producto. Sabemos que las dos primeras producen el mismo número de productos y que la tercera produce el doble de productos que las dos anteriores durante un periodo de tiempo especificado, el mismo para las tres. Sabemos también que el \(4\%\) de los productos manufacturados por la primera fábrica es defectuoso y que el \(2\%\) de lo producido por cada una de las otras dos fábricas también es defectuoso.

Si colocamos juntos los productos fabricados y se escoge uno al azar,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
b) Suponiendo que elegimos un producto al azar y resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la primera fábrica?

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Com. Valenciana 2021-P4

El cáncer colorrectal (CCR) constituye un problema de salud pública a nivel mundial. En los países miembros de la Unión Europea, como en el resto de los países desarrollados, representa, en ambos sexos, el segundo cáncer más frecuente y una de las principales causas de muerte por éste. Entre las diversas opciones que existen, las pruebas de sangre oculta en heces (TSOH) han sido las primeras en ser evaluadas en ensayos clínicos controlados y las que han recibido una mayor atención, dado que, desde un punto de vista práctico, su bajo coste y su facilidad de instauración las convierten en una opción atractiva para la detección del CCR.
En uno de los estudios en el que se utilizó esta prueba diagnóstica, la probabilidad de que un paciente con CCR sea detectado (que la prueba sea positiva) es de un \(68\%,\) y la probabilidad de que un paciente que no presente CCR sea detectado (que la prueba sea negativa) es de un \(98\%.\) La Conselleria decide utilizar esta prueba diagnóstica (TSOH) sobre la población perteneciente al departamento de Salud 7 (Valencia-La Fe) en la que la prevalencia de cáncer de colon es del \(3\%.\) Calcula:

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Madrid 2016-P4

Tres máquinas \(A, B, C\) producen una barra metálica. La máquina \(A\) las produce con una longitud que se distribuye siguiendo una normal de parámetros \(\mu=165\) y \(\sigma = 5.\) La máquina \(B\) las produce con una longitud que se distribuye siguiendo una normal de parámetros \(\mu=175\) y \(\sigma = 5.\) La máquina \(C\) las produce con una longitud que se distribuye siguiendo una normal de parámetros \(\mu=170\) y \(\sigma = 5.\) (Todas las unidades son mm.)

  1. El \(50\%\) de la producción la hace la máquina \(A,\) el \(20\%\) la produce la máquina \(B\) y el resto, la máquina \(C.\) Elegimos tres piezas al azar de una de las máquinas y sabemos que miden más de \(173\) mm cada una. Calcular la probabilidad de que todas las piezas sean de la máquina \(C\).
  2. Elegimos \(100\) piezas al azar de la máquina \(B,\) de forma independiente unas de otras, calcular la probabilidad de que al menos \(60\) midan más de \(173\) mm.

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Andalucía 2014-P5

En una urna \(A\) hay tres bolas blancas y cuatro bolas negras. Se extraen dos bolas de la urna \(A\) y sin mirar el color las introducimos en otra urna \(B.\) Después extraemos una bola de cada urna al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la urna \(A\) sea blanca?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean blancas?

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Andalucía 2006-P5

Se hace un estudio de los alumnos de Bachillerato de un instituto que pertenencen a tres barrios \(A,\)\(B\) y \(C.\) El \(20\%\) de los alumnos del instituto pertenecen al barrio \(A,\) el \(30\%\) al \(B\)  y el resto al \(C.\) El \(80\%\) de los alumnos del barrio \(A\) estudian \(1.º\) de Bachillerato y el resto, \(2.º,\) el \(50\%\) de los del barrio \(B\) estudian \(1.º\) y el resto, \(2.º,\) y el \(60\%\) de los del \(C\) estudian \(1.º\) y el resto, \(2.º\).
a) Se escoge un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que estudie \(2.º\)?
b) Si se ha escogido un alumno y se sabe que estudia \(1.º,\) ¿cuál es la probabilidad de que sea del barrio \(B\)?

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I. Baleares. Ibiza 2018-E1-P1

Tres máquinas \(A, B, C\) producen una barra metálica. La máquina \(A\) las produce con una longitud que se distribuye siguiendo una normal de parámetros \(\mu=165\) y \(\sigma = 5.\) La máquina \(B\) las produce con una longitud que se distribuye siguiendo una normal de parámetros \(\mu=175\) y \(\sigma = 5.\) La máquina \(C\) las produce con una longitud que se distribuye siguiendo una normal de parámetros \(\mu=170\) y \(\sigma = 5.\) (Todas las unidades son mm.)

  1. El \(50\%\) de la producción la hace la máquina \(A,\) el \(20\%\) la produce la máquina \(B\) y el resto, la máquina \(C.\) Elegimos tres piezas al azar de una de las máquinas y sabemos que miden más de \(173\) mm cada una. Calcular la probabilidad de que todas las piezas sean de la máquina \(C\).
  2. Elegimos \(100\) piezas al azar de la máquina \(B,\) de forma independiente unas de otras, calcular la probabilidad de que al menos \(60\) midan más de \(173\) mm.

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