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Asturias 2021-P1

Sea \(V = \left \lbrace \begin{pmatrix} a + b & a -b \\ a -b & a + b \end{pmatrix}, \text{ con } a,b \in \mathbb R \right \rbrace\) un subconjunto de las matrices \(2×2.\) \(\left ( V, +, \cdot_{\mathbb R} \right )\) es un espacio vectorial sobre \(\mathbb R\), siendo \(+\) la suma ordinaria de matrices.

a) Halle razonadamente una base de dicho espacio vectorial.
b) Halle los divisores de cero de \(V\).
c) Demuestre que el conjunto formado por las matrices inversas de las matrices regulares de \(V\) está contenido en \(V\).

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Castilla y León 2021-T12-P4

En el espacio vectorial de las sucesiones de números reales sobre \(\mathbb R\) con las operaciones $$(a_n)_{n=1}^\infty + (b_n)_{n=1}^\infty  = (a_n + b_n)_{n=1}^\infty, \quad \lambda \cdot (a_n)_{n=1}^\infty = (\lambda \, a_n)_{n=1}^\infty \forall \lambda \in \mathbb R,$$ se considera el subespacio vectorial definido por las sucesiones que verifican: $$ \Gamma = \{ (a_n)_{n=1}^\infty \mathop{\vert} a_n = a_{n -1} + a_{n -2} \text{ con } n \ge 3, a_1, a_2 \}$$
a) Demostrar que las progresiones geométricas de \(\Gamma\) con \(a_1 = 1\) forman una base de \(\Gamma\).
b) Obtener las componentes en dicha base y el término general de las sucesiones de \(\Gamma\) definidas por: $$\eqalign { a_1 = 1, a_2 = 1 &\quad \text{(Sucesión de Fibonacci)} \\ a_1 = 1, a_2 = 3 &\quad \text{(Sucesión de Lucas)} }$$

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C. F. Navarra 2021-Euskera-COVID-P2

Supongamos \(S = \{(x,y,z,t) \in \mathbb Q^4 \mid x = 3z \}\) y \(T\) generado por \((3, 2, 1, 2),\) \((3, −3, 1, −3)\) y \((3, 0, 1, 0)\)

a) Verifique que \(T\) es un subespacio de \(S\).
b) Encuentre una base de \(T\) y complétela para que se obtenga una base de \(S\).
c) Encuentre \(U\), un subespacio tridimensional, \(T = S \cap U\).

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Galicia 2021-E1-P1

Sea \(P_3(x)\) el espacio vectorial de los polinomios de grado  menor o igual que \(3\) con coeficientes reales. Sea \(f : P_3(x) \rightarrow P_3(x)\) definida por $$f \big ( p(x) \big ) = \beta p(x) + p'(x), \quad \beta \in \mathbb R$$ a) Probar que \(f\) es una aplicación lineal.
b) Hallar su núcleo, su imagen y clasificar \(f\) según los valores de \(\beta\).
c) Suponiendo \(\beta = 1,\) hallar la matriz asociada a \(f\) cuando se considera en \(P(x)\) la base \(\mathcal B = \lbrace 2, x + 1, x^2 -1, x^3 + 1 \rbrace\) tanto en el espacio inicial como en el final.

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C. F. Navarra 2021-Euskera-P2

Sea \(\mathcal B = \{ u_1, u_2, u_3, u_4 \}\) una base del \(\mathbb R -\text{espacio}\) vectorial \(V.\) Consideremos los conjuntos \(\mathcal B^{\,\prime} = \{v_1, v_2, v_3, v_4 \}\) y \(\mathcal B^{\,\prime\prime} = \{ w_1, w_2, w_3, w_4 \},\) donde $$v_1 = (2, −2, 0, 1), v_2 = (1, 1, 1, 0), v_3 = (3, 0, 1, −1), v_4 = (0, −2, −1, 1) \\ w_1 = (0, 1, 0, 3), w_2 = (−1, 1, 0, 0), w_3 = (−2, 0, −1, 2), w_4 = (−1, −1, −1, 1) $$ están definidos en la base \(\mathcal B\).
a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos {0{,}75}\) Compruebe que \(\mathcal B^{\,\prime}\) y \(\mathcal B^{\,\prime\prime}\) son bases de \(V\).
b) \(\puntos {1}\) Encuentre la matriz del cambio de base \(\mathcal B^{\,\prime}\) a \(\mathcal B^{\,\prime\prime}\).
c) \(\puntos {0{,}75}\) Calcule las coordenadas del vector \(x\) con respecto a \(\mathcal B^{\,\prime},\) sabiendo que las coordenadas con respecto a \(\mathcal B^{\,\prime\prime}\) son \((0, −6, 3, −5).\)

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I. Baleares. Menorca 2021-E2-P1

Sea \(E\) un K-espacio vectorial con una base \(\mathcal B = \lbrace u_1, u_2, u_3 \rbrace.\)Sea \(f\) la única aplicación lineal \(f : E \rightarrow E\) tal que $$f(u_1) = u_2 + u_3 \\ f(u_2) = u_1 + u_2 + 2u_3 \\ f(u_3) = 2u_1 + 2u_2 +2u_3 $$ Si \( K = \mathbb R, E = \mathbb R^3, \mathcal B = \lbrace (1,2,1), (1,0,1), (0,0,1) \rbrace,\) calcula
a) \(f(3,1,2)\).
b) la matriz de \(f\) respecto de la base \(\mathcal B\).
c) la dimensión del núcleo de \(f\).
d) la dimensión de la imagen de \(f\).

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Cantabria 2021-E1-P1

a) Demostrar que el subconjunto de \(\mathbb R^4\) formado por todas las cuaternas \((x, y, z, t)\) que satisfacen las relaciones $$x + y + z + t = 0 \\ x -y + z -t = 0$$ forman un subespacio vectorial de  \((\mathbb R^4, +, ·_{\mathbb R})\). (10 puntos)
b) Probar que el sistema formado por los vectores \(\vec{u_1}\)  y \(\vec{u_2}\) forman una base para dicho espacio, siendo \(\vec{u_1} = (2, 1, -2, -1)\) y \(\vec{u_2} = (1, 0, -1, 0).\) (10 puntos)
c) Hallar las coordenadas del vector \(\vec{u} = (4, 1, -4, -1)\) respecto de dicha base \(\vec{u_1}, \vec{u_2}\). (5 puntos)

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Aragón 2021-E2-P2

En  el espacio vectorial \(\def\mdxd{\mathcal M_{2×2}(\mathbb R)}\def\matdd#1#2#3#4{\begin{pmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{pmatrix}}\require{AMSsymbols}\) \(\mdxd,\) siendo $$B = \left\lbrace \matdd 1 0 0 2, \matdd 0 2 0 0, \matdd 0 0 2 1, \matdd {-1} 0 2 0 \right \rbrace$$ una base de \(\mdxd,\) se consideran los conjuntos $$S_2 = \left\lbrace A \in \mdxd : A = A^\intercal \right\rbrace$$ $$U = \left\lbrace A \in \mdxd : A \matdd 1 2 2 4 = \matdd 0 0 0 0 \right\rbrace$$ $$V \text{ sistema generado por } \matdd 1 1 0 1, \matdd 1 1 0 0, \matdd 1 1 0 2$$

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Andalucía. Sevilla 1996-P1

Sea \(P_n\) el espacio vectorial de los polinomios reales de variable real, de grado menor o igual que \(n\).
a) Demostrar que \(P=\{p_0, p_1,\dots,p_n\},\) donde \(p_i(x) = x^i,\) es una base de \(P_n\).
b) Demostrar que \(Q=\{q_0,q_1,\dots,q_n\},\) donde \(q_i(x)= (1+x)^i,\) es una base de \(P_n\).
c) Expresar las ecuaciones del cambio de la base \(Q\) a la base \(P\).
d) Probar que para \(k \le n,\) \(\require{AMSmath}\quad\displaystyle\binom {k}{k} + \binom {k+1}{k} + \dots + \binom {n}{k} = \binom {n+1}{k+1}\).
e) Calcular las coordenadas de \(R(x)\) en la base \(P\) siendo \(R(x) = (1,1,\dots,1)\) en la base \(Q.\)

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I. Baleares. Ibiza 2019-E2-P3

Sea \(\mathcal B = \{u,v,w\}\) base del espacio vectorial \(V.\) Sea \(u’ = 2u -v + w,\) \(v’ = u + w,\) \(w’ = 3u -v + 3w\) .

a) Pruebe que \(\mathcal B\,’ = \{u’,v’,w’\}\) es también base de \(V\).
b) Establezca las ecuaciones del cambio de base de \(\mathcal B\) a \(\mathcal B\,’\).
c) Encuentre las coordenadas respecto de \(\mathcal B\) del vector \(z= -2u’ + 3v’ + w’\)

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