You dont have javascript enabled! Please enable it! aplicación lineal archivos - Cuadernos | El cartapacio

Madrid 2023-Estab-P4

Consideremos las siguientes bases de \(\mathbb R^2\colon\)\(\{ e_1=(1,0),e_2=(0,1) \}\) y \(\{ f_1=(1,3),f_2=(2,5) \}.\)

  1. Hallar la matriz \(Q\) de cambio de base de \(\{f_i\}\) a \(\{ e_i \}.\)
  2. Verificar que se cumple \(Q=P^{-1}\) siendo \(P\) la matrix de cambio de base de \(\{ e_i \}\) a \(\{ f_i \}.\)
  3. Mostrar que \([T]_f = P^{-1} [T]_e P,\) para el operador \(T\) sobre \(\mathbb R^2\) definido de la forma: \(T(x,y)=(2y,3x-y).\)

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I. Baleares. Ibiza 2022-B-E3

Sea \(\{e_1, e_2, e_3, e_4 \}\) una base de \(\mathbb R^4\) y consideremos \(f:\mathbb R^4 \to \mathbb R^4\) la aplicación lineal tal que $$f(e_1) = e_1+e_3, \quad f(e_2)=-e_2+e_4 \\ \text{Nuc }f = \{ (x,y,z,t) \in \mathbb R^4 : 2x+y=0, \, x+z+2t=0 \}$$

  1. Encuentre la dimensión y una base de \(\text{Nuc }f.\)
  2. Calcule las ecuaciones implícitas de \(\text{Im }f\) y dé una base.
  3. Determine la matriz de \(f\) en la base \(\{e_1, e_2, e_3, e_4 \}.\)

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Matriz de un homomorfismo

Consideremos dos espacios vectoriales \(\def\vecbf#1{\mathbf {\vec {#1\,}}}\def\dim#1{\text{dim }#1}\def\ker#1{\text{Ker }#1}\def\im#1{\text{Im }#1}\)\(\mathbb V\) y \(\mathbb V’\) sobre el mismo cuerpo de escalares \(\mathbb K\) con \(\dim {\mathbb V} = n\) y \(\dim {\mathbb V’} = m.\) Sean las bases \(\mathcal B = \{ u_i \}_{i=1}^{n}\) del espacio \(\mathbb V\) y \(\mathcal B’ = \{ u’_j \}_{j=1}^{m}\) del espacio \(\mathbb V’.\) Sea \(f : \mathbb V \rightarrow  \mathbb V’\) una aplicación lineal.

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C. F. Navarra 2021-COVID-P2

Sea \(\mathbb P_3(t)\) el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que \(3\) en la variable \(t.\) Se considera la aplicación: $$f : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb P_3(t) \text{ dada por } f(x,y,z) = x \, t^3 + y \, t + (y + z).$$

a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos {0{,}5}\) Demostrar que es una aplicación lineal.
b) \(\puntos {0{,}5}\)Hallar la matriz coordenada de \(f\) respecto de las bases canónicas de \(\mathbb R^3\) y \(\mathbb P_3(t)\).
c) \(\puntos {0{,}75}\) ¿Es \(f\) biyectiva? Razónalo.
d) \(\puntos {0{,}75}\) Hallar la matriz coordenada de \(f\) respecto de las bases \(\mathcal B = \{ (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) \}\) y \(\mathcal B^\prime = \{ t^3, t^2 + t, t + 1, 1 \}.\)

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Galicia 2021-E1-P1

Sea \(P_3(x)\) el espacio vectorial de los polinomios de grado  menor o igual que \(3\) con coeficientes reales. Sea \(f : P_3(x) \rightarrow P_3(x)\) definida por $$f \big ( p(x) \big ) = \beta p(x) + p'(x), \quad \beta \in \mathbb R$$ a) Probar que \(f\) es una aplicación lineal.
b) Hallar su núcleo, su imagen y clasificar \(f\) según los valores de \(\beta\).
c) Suponiendo \(\beta = 1,\) hallar la matriz asociada a \(f\) cuando se considera en \(P(x)\) la base \(\mathcal B = \lbrace 2, x + 1, x^2 -1, x^3 + 1 \rbrace\) tanto en el espacio inicial como en el final.

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I. Baleares. Menorca 2021-E1-P5

En \(\mathbb R^3\) se considera el plano \(\pi\) de ecuación \(x + y + z = 0.\) Se considera la transformación\(f : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3\) que a cada punto \(P\) le hace corresponder un punto \(f(P)\) de manera que el punto medio del segmento \(\overline{P \, f(P)}\) es el punto \(P^{\prime}\) simétrico de \(P\) respecto del plano \(\pi\).
a) Interpreta geométricamente la transformación \(f\).
b) Determinar una base ortonormal en la cual la matriz asociada a \(f\) sea diagonal. Determina también la matriz asociada a \(f\) en esta base.
c) Calcula la matriz de \(f\) en la base canónica.
d) Se considera el punto \(P\) de coordenadas \(P(2,2,3).\) Calcula las coordenadas del punto \(f^{10}(P)\).
e) Se considera la cuestión: «A partir del punto \(\mathit {P(2,2,3)},\) calcula las coordenadas de \(\mathit {f(P)}\)». Ubica esta cuestión en el curriculo de bachillerato, resuelve la cuestión en este contexto de manera detallada e indicando todos los conocimientos previos necesarios.

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Cantabria 2021-E2-P1

Sea \(f : \mathbb R^3 \longrightarrow \mathbb R^3\) un endomorfismo, tal que: $$\eqalign { f(\vec{u_1}) &= \hphantom{-3}\vec{u_1} + 2 \vec{u_2} -\vec{u_3} \\ f(\vec{u_2}) &= -3\vec{u_1} -\vec{u_2} +5\vec{u_3} \\  f(\vec{u_3}) &= -2\vec{u_1} + \vec{u_2} + 2\vec{u_3} }$$ donde \(\mathcal B = \{\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3} \}\) es una base del espacio vectorial \((\mathbb R^3, +, ·_{\mathbb R}).\) Hallar la matriz de la aplicación lineal \(f\) respecto de la base \(\mathcal B_1 = \{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}\) en la que las imágenes de los vectores \(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\) se expresan en las columnas de la matriz, donde $$\eqalign { \vec{v_1} &= \vec{u_2} + \vec{u_3} \\ \vec{v_2} &= \vec{u_1} + \vec{u_3} \\ \vec{v_3} &= \vec{u_1} + \vec{u_2}. }$$ (25 puntos)

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I. Baleares. Menorca 2018-E1-P1

Sea \(\def\hom{\mathcal T}\hom\) la transformación lineal del espacio tridimensional \(\mathbb R^3\) que cumple las siguientes condiciones (referidas a la base canónica de \(\mathbb R^3\)):

– la restricción de \(\hom\) al subespacio \(U\) definido por la ecuación \(x+y -z = 0\) es una homotecia de razón \(4\).
– \(\hom\) transforma el subespacio vectorial \(V\) definido por las ecuaciones implícitas \(V = \{(x,y,z):2x+4y+3z=0, x+y+z=0\}\) en él mismo.
– \(\hom(3, 0, -1) = (6, -6, 8).\)

Determinar la matriz de la transformación \(\mathcal T\) en la base canónica.

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Galicia 2019-E1-P4

Sea \(E\) un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales y \(f\) una aplicación lineal de \(E\) en \(E\) tal que \(f^2 = -I.\)

a) Demostrar que \(f\) es biyectiva.
b) Demostrar que si \(A = \{x_1, x_2,\dots,x_n,f(x_1), f(x_2),\dots,f(x_{n -1}) \}\) es un conjunto de vectores linealmente independientes, también \(B = \{x_1, x_2,\dots,x_n,f(x_1), f(x_2),\dots,f(x_{n -1}),f(x_n) \}\) es un conjunto de vectores linealmente independientes.

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Ceuta 2018-P4

Se considera la aplicación lineal \(f:\mathbb R^3  \rightarrow \mathbb R^3\) definida por: $$\left\lbrace\eqalign{ f(e_1) &=e_2 + e_3 \\ f(e_2) &= e_1 + e_3 \\ f(e_3) &= e_1 + e_2 } \right.$$ siendo \(\{e_1, e_2, e_3\}\) la base canónica de \(\mathbb R^3:\)

a) Calcular la matriz asociada respecto de la base canóncia y analizar si esta aplicación lineal es o no inyectiva.
b) Probar que: $$ \forall n \in \mathbb N, f^n = a_n f + b_n I$$ siendo, para cada \(n \in \mathbb N,\) \(a_n\) y \(b_n\) números reales a determinar.

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