You dont have javascript enabled! Please enable it! sucesión recurrente archivos - Cuadernos | El cartapacio

Andalucía 2023-P4

Para cada \(n \in \mathbb N\) y para cada \(a,b \in \mathbb C\) considere la matriz $$A_n(a) = \pmatrix { 1+a & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ a & 1+a & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & a & 1+a & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1+a & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a & 1+a } \in \cal M_{n \times n} (\mathbb C)$$ y el sistema de ecuaciones \(A_n(a) X = \pmatrix {0 & 0 & \dots & b}^{\sf T}\) con \(X \in \cal M_{n \times 1} (\mathbb C).\)

  1. Calcule los siguientes determinantes: \(\det (A_1(a)),\) \(\det (A_2(a)),\) \(\det (A_3(a)).\)
  2. Obtenga una relación lineal entre los determinantes de \(A_n(a),\) \(A_{n+1}(a)\) y \(A_{n+2}(a)\).
  3. Halle, según los valores de \(a\) y \(n,\) una expresión para el determinante de \(A_n(a).\)
  4. Estudie el sistema \(A_n(a) X = \pmatrix {0 & 0 & \dots & b}^{\sf T}\) según los valores de \(a, n, b.\)

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I. Baleares. Mallorca 2022-B-P2

Encuentre el valor del determinante de orden \(n\) $$A_n = \begin{vmatrix} 1+x^4 & x^2 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ x^2 & 1+x^4 & x^2 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x^2 & 1+x^4 & x^2 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x^2 & 1+x^4 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1+x^4 & x^2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & x^2 & 1+x^4 \end{vmatrix}.$$

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I. Baleares. Mallorca 2022-B-P4

Se inscribe un círculo en un triángulo equilátero de lado \(a.\) A continuación, se inscriben tres círculos más que son tangentes al primer círculo y a los lados del triángulo. Se repite el proceso y se inscriben tres círculos más que son tangentes a los anteriores y alos lados del triángulo. Y, así sucesivamente. Encuentre el área total de todos los círculos inscritos.

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Castilla-La Mancha 2021-P2

Para cada \(\require{AMSmath}\DeclareMathOperator{\sin}{sen}\)\(n \in \mathbb N\) se define $$A_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \D x.$$

  1. Encuentre una fórmula para calcular \(A_n\) a partir de \(n.\)
  2. Calcule \(\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{A_n}{A_{n+1}}.\)

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Ceuta 2021-P4

  1. Demuestra que la sucesión siguiente, con \(n\in\mathbb N,\) converge y determina su límite. $$\begin{cases} a_1 &= 1 \\ a_{n+1} &= 2+\displaystyle\frac{a_n}{3}, \; n \ge 1\end{cases}$$
  2. Consideremos las funciones \(f(x) = x \cdot \E^{-x}\) y \(g(x) = 2-x \cdot \displaystyle\int_0^{2x}\E^{-t^2} \D t.\) Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-g(x)+2-x}{x \cdot \ln(1-x)}.$$

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Castilla-La Mancha. Toledo 2000-P4

Se consideran las funciones \(f_n(x) = x^n (1 -x)^{1/2}\) con \(n \gt 0\) y sea \(A_n\) el área que encierra la gráfica de la función \(f_n\) y el eje \(OX.\) Probar que la suma de todas las \(A_n\) es convergente y calcular su valor.

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Com. Valenciana 2021-P1

Los números de Fibonacci \(1,1,2,3,5,8,13,\dots\) forman una sucesión llamada sucesión de Fibonacci \(\{F_n\}\) que se define de forma recurrente como $$F_1=1, F_2=1, F_n=F_{n -1} + F_{n -2} \text{ para } n \ge 3.$$ a) Probar que dos números de Fibonacci consecutivos son primos entre sí.
b) Dada la matriz \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\) demostrar que \(A^n = \begin{bmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n -1} ,\end{bmatrix}\) para \(n \ge 2\).
c) Comprueba que la matriz \(A\) del apartado anterior es diagonalizable y calcula la matriz \(P \in GL_2(\mathbb R)\) tal que \(P^{-1}AP = D\) donde \(D= \begin{bmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{bmatrix}\) es la matriz diagonal. Utiliza este resultado para obtener el término general de la sucesión \(\{F_n\}\) como fórmula no recurrente (llamada fórmula de Binet).
d) Deduce de los apartados b) y c) la identidad de Cassini: \(F_{n+1} F_{n -1} -F_n^2 = (-1)^n\).

(Valoración del problema \(9/40\))

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Cantabria 2018-E2-P4

Se dispone de dos monedas \(A\) y \(B\) cuyas probabilidades respectivas de caer de cara son \(\alpha\) y \(\beta. \) Se efectúan lanzamientos de acuerdo al siguiente sistema: para el primer lanzamiento se escoge al azar (probabilidad \(1/2\)) una de las dos monedas. En los lanzamientos sucesivos se utiliza la misma moneda que en el lanzamiento anterior si ésta ha caído de cara o, en caso contrario, se cambia de moneda. Hallar las probabilidades \(\lambda_n\) y \(\mu_n\) de utilizar la moneda \(A\) en el lanzamiento n-ésimo y de obtener cara en el n-ésimo lanzamiento, respectivamente. Estudiar el comportamiento de \(\lambda_n\) y \(\mu_n\) cuando \(n \to \infty.\)

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