You dont have javascript enabled! Please enable it! sistema de ecuaciones archivos - Cuadernos | El cartapacio

Andalucía 2023-P4

Para cada \(n \in \mathbb N\) y para cada \(a,b \in \mathbb C\) considere la matriz $$A_n(a) = \pmatrix { 1+a & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ a & 1+a & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & a & 1+a & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1+a & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a & 1+a } \in \cal M_{n \times n} (\mathbb C)$$ y el sistema de ecuaciones \(A_n(a) X = \pmatrix {0 & 0 & \dots & b}^{\sf T}\) con \(X \in \cal M_{n \times 1} (\mathbb C).\)

  1. Calcule los siguientes determinantes: \(\det (A_1(a)),\) \(\det (A_2(a)),\) \(\det (A_3(a)).\)
  2. Obtenga una relación lineal entre los determinantes de \(A_n(a),\) \(A_{n+1}(a)\) y \(A_{n+2}(a)\).
  3. Halle, según los valores de \(a\) y \(n,\) una expresión para el determinante de \(A_n(a).\)
  4. Estudie el sistema \(A_n(a) X = \pmatrix {0 & 0 & \dots & b}^{\sf T}\) según los valores de \(a, n, b.\)

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Cataluña 2021-A-P1

Contexto
Sois docentes de dos de los cuatro grupos de alumnos de 3º de ESO de un instituto de Cataluña situado en una población del área metropolitana de Barcelona. Es un centro con una diversidad grande de alumnos que recoge alumnos provenientes, mayoritariamente, de 6 escuelas diferentes de la población. El proyecto educativo del centro establece que los grupos tienen que ser heterogéneos, de forma que en todos ellos haya una distribución equivalente en cuanto a chicos y chicas y niveles competenciales logrados en los cursos anteriores. Para poder resolver problemas donde haya dos magnitudes relacionadas entre sí, tenéis previsto dedicar varias sesiones a trabajar con los alumnos el método de reducción para la resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Cuestiones previas
  1. Enunciar el Teorema de Rouché-Fröbenius. ¿Qué relación creéis que puede tener con el currículum de ESO?
  2. Explicar en qué consiste el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones y qué relación tiene con el método de reducción para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Dos de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones más utilizados son el método de Gauss y la regla de Cramer. Valorar en qué condiciones es mejor el uno que el otro.
  3. Considerar el sistema de ecuaciones lineales siguiente: $$\begin{cases} x-y+z &= 0 \\ 2x+kz &= 1 \\ x+(k+1)y+z &=k^2-4 \end{cases}$$ en el que \(k\) es un parámetro real.
    1. Discutir el sistema para los diferentes valores de \(k\).
    2. Resolver el sistema para \(k = −2.\)
Elaboración de la situación de aprendizaje
  1. Describir en detalle el desarrollo de una sesión de resolución de problemas mediante el uso del método de reducción para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, con alumnos de 3º de ESO, indicando las actividades de aprendizaje propuestas, la organización y el trabajo de los alumnos, así como las estrategias para garantizar la participación de todo el alumnado.
  2. Concretar los aprendizajes competenciales que prevéis que adquieran los alumnos en esta sesión.
  3. Concretar elementos relacionados con la evaluación de los aprendizajes previstos a la sesión.

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Canarias 2021-E1-S1

Un IES situado en una zona rural de la isla precisa renovar sus equipos informáticos: ordenadores, tablets y cañones de proyección. La empresa suministradora le ofrece los precios siguientes: cada ordenador cuesta \(495 ~€;\) cada tablet, \(105~€;\) y cada cañón, \(255~€.\) Necesitan comprar \(85\) artículos por lo que tendrán que solicitar una partida presupuestaria extraordinaria de \(20~175~€.\)

  1. Sabiendo que la suma de las tablets y los cañones de proyección excede en diez
    unidades al doble del número de ordenadores, plantee y resuelva de dos maneras distintas justificando y nombrando el método utilizado, el sistema de ecuaciones correspondiente para calcular el número de ordenadores, tablets y cañones de proyección que precisa comprar el centro educativo, recogiendo todo el procedimiento.
  2. Finalmente, la partida presupuestaria aprobada fue menor que la solicitada, sólo
    contempla la compra de ordenadores y tablets, siendo diez el número mínimo de
    ordenadores que se pueden comprar y quince la cantidad mínina de tablets que se pueden adquirir. Además, el séxtuplo del número de tablets que se compren más el quíntuplo del número de ordenadores, no puede exceder de 300 artículos, y el doble de las tablets que se adquieran más el número de ordenadores no puede exceder de 80 unidades. Plantee las restricciones correspondientes, represente la región factible asociada y calcule razonadamente el número de ordenadores y de tablets que el instituto debería comprar para obtener un aprovechamiento óptimo del presupuesto.
Intervención didáctica

Diseñe una intervención didáctica completa, inclusiva, razonada y fundamentada, para que, a través del modelo metodológico que estime más adecuado y utilizando los procedimientos analíticos, tecnológicos y gráficos que mejor se ajusten al problema planteado, concrete una secuencia de actividades de manera que el alumnado de un grupo de 2.º de Bachillerato que cursa Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales y en el que [/atex]7[/latex] alumnos/as tienen la materia pendiente de 1.º de Bachillerato, pueda resolver los problemas planteados permitiendo introducir los aprendizajes curriculares correspondientes al Bloque de contenidos al que hace referencia la situación  planteada.

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I. Baleares. Menorca 2018-E2-P5

Dado el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left \{ \begin{array}{rcr} ax+(2a+1)y -az &= &1 \\ ax + y -az &= &-2b \\ \phantom{ax+} ay + (1 -a)z &= &b \end{array} \right.$$

1. Discutir y resolver el sistema.
2. Situar el problema dentro de un curso de Educación Secundaria Obligatoria o Bachillerato, indicando los conocimientos previos que ha de tener el alumnado, las posibles relaciones con otras ramas de las matemáticas y con otras materias, las posibles vías de resolución, los recursos y medios que se podrían utilizar, los posibles instrumentos de evaluación y otros aspectos didácticos que se consideren significativos.

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C. F. Navarra 2000-E2-P1

Un hombre repartió sus más de \(2500\) ovejas (pero menos de \(3000\)) entre sus hijos Aitor, Begoña, César y Jon. César recibió tantas como la mitad de las que recibió Aitor más la tercera parte de las de Begoña. La cuarta parte de las que recibió César más la quinta parte de las de Jon suman tantas como las que obtuvo Aitor. Sumando la sexta parte de las de Begoña y la séptima parte de las de César sale el número de las que recibió Jon. ¿Cuántas ovejas recibió cada hijo?

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