You dont have javascript enabled! Please enable it! sucesiones archivos - Cuadernos | El cartapacio

Castilla y León 2021-T12-P4

En el espacio vectorial de las sucesiones de números reales sobre \(\mathbb R\) con las operaciones $$(a_n)_{n=1}^\infty + (b_n)_{n=1}^\infty  = (a_n + b_n)_{n=1}^\infty, \quad \lambda \cdot (a_n)_{n=1}^\infty = (\lambda \, a_n)_{n=1}^\infty \forall \lambda \in \mathbb R,$$ se considera el subespacio vectorial definido por las sucesiones que verifican: $$ \Gamma = \{ (a_n)_{n=1}^\infty \mathop{\vert} a_n = a_{n -1} + a_{n -2} \text{ con } n \ge 3, a_1, a_2 \}$$
a) Demostrar que las progresiones geométricas de \(\Gamma\) con \(a_1 = 1\) forman una base de \(\Gamma\).
b) Obtener las componentes en dicha base y el término general de las sucesiones de \(\Gamma\) definidas por: $$\eqalign { a_1 = 1, a_2 = 1 &\quad \text{(Sucesión de Fibonacci)} \\ a_1 = 1, a_2 = 3 &\quad \text{(Sucesión de Lucas)} }$$

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Castilla y León 2004-P3

a) Hallar el siguiente límite \(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} \left ( \frac{2}{1} + \frac{3^2}{2} + \frac{4^3}{3^2} + \dots + \frac{(n+1)^n}{n^{n -1}} \right )\).
b) Demostrar que si todas las normales a una curva (suficientemente regular) pasan por un punto fijo, dicha curva está contenida (como conjunto de puntos) en una circunferencia.

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Asturias 2018-P3

Dadas las sucesiones con \(a\cdot b\neq 0\)

$$\left\lbrace\begin{aligned} u_1&=a \\ u_{n+1}&=\frac{{u_n}^2}{u_n+v_n}\end{aligned}\right. \qquad \left\lbrace\begin{aligned} v_1&=b \\ v_{n+1}&=\frac{{v_n}^2}{u_n+v_n}\end{aligned}\right.$$

a) Si \(a=b\) calcular los límites de \(\{u_n\}\) y \(\{v_n\}\).
b) Si \(|b|\lt|a|\) demostrar que las sucesiones son convergentes.
c) Si \(|b|\lt|a|\) calcular los límites de \(\{u_n\}\) y \( \{v_n\}\).

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I. Baleares. Ibiza 2018-E2-P3

1. Calcular el límite de la sucesión $$a_n = \frac{\frac{n}{1} + \frac{n -1}{2} + \frac{n -2}{3} + \dots + \frac{3}{n -2} + \frac{2}{n -1} + \frac{1}{n}}{\log_7 n!}$$ para \(n \ge 2\).
2. Estudiar la convergencia de la serie \(\displaystyle \sum_{n\ge1} \left( \sqrt[n]{e} -1 -\frac{1}{n}\right)\)

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