I. Baleares. Menorca 2022-B-E4

Se considera la función \(f:\mathbb R \to \mathbb R,\) continua en toda la recta real. Definimos la función \(G(x) = \displaystyle \int_{x-1}^{x+1} f(t) \D t.\)

1. Demuestre que \(G\) es una función continua en todo \(\mathbb R.\)
2. Determine \(G’\) en términos de \(f.\)
3.  Si \(\lim_{x\to\infty} f(x) = a,\) estudie la existencia de \(\lim_{x\to\infty} G(x)\) y determine su valor si es el caso.
4. En el caso de que \(f(t)=\lon{t},\) determine la expresión de \(G(x)\) y de \(G'(x).\)