Para cada número real \(t\) con \(\vert t \vert \lt 1\) se considera la función compleja definida por $$f(z)=\frac{4-z^2}{4-4tz+z^2}.$$ Se pide:
- Descomponer \(f(z)\) en fracciones simples.
- Obtener la expresión de las derivadas sucesivas de \(f(z)\) para \(z=0\)
- Demostrar que el coeficiente \(T_n(t)\) de \(z^n\) en el desarrollo en serie de Taylor en \(z=0\) de \(f(z)\) es un polinomio de grado \(n\) en \(t\) y que se cumple la relación de recurrencia \(\require{AMSsymbols}\)$$4T_{n+1}(t) -4tT_n(t)+T_{n-1}(t) = 0 \quad \forall n \geqslant 2.$$