You dont have javascript enabled! Please enable it! Galicia archivos - Cuadernos | El cartapacio

Galicia 2022-B-P4

Para cada número real \(t\) con \(\vert t \vert \lt 1\) se considera la función compleja definida por $$f(z)=\frac{4-z^2}{4-4tz+z^2}.$$ Se pide:

  1. Descomponer \(f(z)\) en fracciones simples.
  2. Obtener la expresión de las derivadas sucesivas de \(f(z)\) para \(z=0\)
  3. Demostrar que el coeficiente \(T_n(t)\) de \(z^n\) en el desarrollo en serie de Taylor en \(z=0\) de \(f(z)\) es un polinomio de grado \(n\) en \(t\) y que se cumple la relación de recurrencia \(\require{AMSsymbols}\)$$4T_{n+1}(t) -4tT_n(t)+T_{n-1}(t) = 0 \quad \forall n \geqslant 2.$$

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Galicia 2022-A-P1

Sea \(G=\mathbb Q_0 \times \mathbb Q\) con \(\mathbb Q_0 = \mathbb Q \setminus \{0\}.\) Se define en \(G\) una operación: $$(a,b) \circ (c,d) := (ac,bc+d)$$

  1. Demostrar que \((G, \circ)\) es un grupo.
  2. El conjunto \(S=\{(1,b) : b \in \mathbb Q \}\) es un grupo normal de \(G\).
  3. \(S\) es isomorfo al grupo aditivo \(\mathbb Q\).

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Galicia 2022-A-P2

Dadas dos esferas de radios \(r\) y \(R\) tales que la distancia entre sus centros es \(d,\) se sitúa un punto luminoso en la línea que une los centros de ambas esferas. En qué punto habrá que situarlo para que la suma de las superficies iluminadas en ambas esferas sea máxima.

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Galicia 2022-A-P3

Dado un subconjunto acotado \(A \subset \mathbb R,\) se define el diámetro del conjunto \(A\) como \(\require{AMSsymbols}\def\lon#1{\left \vert {#1} \right \vert}\)$$d(A) = \sup \{ \lon{x-y} : x,y \in A \}.$$ Se considera la siguiente función derivable $$f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R : \exists M \gt 0, \lon{f'(x)} \leqslant M, \quad \forall x \in \mathbb R.$$ Demostrar que:

  1. Dado \(r \gt 0,\) si \(A\) es tal que \(d(A) \leqslant \frac{r}{M},\) entonces \(d \big ( f(A) \big ) \leqslant r.\)
  2. Sea \(S \subset \mathbb R\) acotado y supongamos que \(M \lt 1.\) Calcular $$\lim_{n\to\infty} d\big ( f^n(S) \big )$$ donde \(f^n(S) = \{(f \circ \dots \circ f)(x) : x \in S \}.\)

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Galicia 2022-A-P4

Una hormiga avanza por las aristas de un icosaedro de modo que, al llegar a un vértice vuelve sobre sus pasos o continúa por cualquiera de las otras aristas que inciden en él, con la misma probabilidad.
Numeramos los vértices del icosaedro de \(0\) a \(11\) y designamos por \(P_k\) la probabilidad de que, partiendo del vértice \(k,\) llegue al polo norte (11) antes de que lo haga al polo sur (0). Está claro que \(P_0=0\) y \(P_{11}=1.\) Hallar \(P_k\) para \(k=1,\dots,10.\)

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Galicia 2021-E2-P1

Considera en \(\mathbb R^4\) los subespacios: $$S = \{ (x,y,z,t) \in \mathbb R^4 : x + 2y + z -t = 0, z -t = 0 \}, \quad T = \langle (1,1,1,1) \rangle.$$

a) Obtener una base de \(S+T\).
b) Razonar porqué la suma \(S + T\) es directa.
c) Determinar si \(\vec {\mathbf {\,v\,}} = (7,1,5,5)\) pertenece a \(S + T\) y, en caso afirmativo, descomponerlo como suma de un vector \(\vec {\mathbf v_S}\) en \(S\) y un vector \(\vec {\mathbf v_T}\) en \(T\).
d) ¿Son \(S\) y \(T\) complementarios uno del otro?

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