Galicia 2022-A-P3

Dado un subconjunto acotado \(A \subset \mathbb R,\) se define el diámetro del conjunto \(A\) como \(\require{AMSsymbols}\def\lon#1{\left \vert {#1} \right \vert}\)$$d(A) = \sup \{ \lon{x-y} : x,y \in A \}.$$ Se considera la siguiente función derivable $$f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R : \exists M \gt 0, \lon{f'(x)} \leqslant M, \quad \forall x \in \mathbb R.$$ Demostrar que:

1. Dado \(r \gt 0,\) si \(A\) es tal que \(d(A) \leqslant \frac{r}{M},\) entonces \(d \big ( f(A) \big ) \leqslant r.\)
2. Sea \(S \subset \mathbb R\) acotado y supongamos que \(M \lt 1.\) Calcular $$\lim_{n\to\infty} d\big ( f^n(S) \big )$$ donde \(f^n(S) = \{(f \circ \dots \circ f)(x) : x \in S \}.\)