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I. Baleares 2023-B-E4

Sea \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión de números reales con límite \(\alpha \in \mathbb R.\)

  1. Demuestre que \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n-a_{n+1})=a_1-\alpha.\)
  2. Demuestre que \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{3^n+n^2+n}{3^{n+1} \cdot n \cdot (n+1)} = \displaystyle\frac{1}{2}\)

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Andalucía 2021-P5

a) Halle el volumen del toro de revolución que se obtiene al girar la circunferencia \((x -a)^2 + y^2 = b^2,\) \( (0 \lt b \lt a)\) alrededor del eje de ordenadas.

b) Siendo $$a_n = \frac{n^k}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}$$ el término general de una serie, se pide:

b.1) Sustituye el exponente \(k\) por el mayor número entero compatible con la condición de ser convergente la serie \(\sum_{n=1}^\infty a_n\).
b.2) Halle la suma de la serie para dicho \(k\).

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I. Baleares. Ibiza 2018-E2-P3

1. Calcular el límite de la sucesión $$a_n = \frac{\frac{n}{1} + \frac{n -1}{2} + \frac{n -2}{3} + \dots + \frac{3}{n -2} + \frac{2}{n -1} + \frac{1}{n}}{\log_7 n!}$$ para \(n \ge 2\).
2. Estudiar la convergencia de la serie \(\displaystyle \sum_{n\ge1} \left( \sqrt[n]{e} -1 -\frac{1}{n}\right)\)

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