You dont have javascript enabled! Please enable it! función derivada archivos - Cuadernos | El cartapacio

Galicia 2022-A-P3

Dado un subconjunto acotado \(A \subset \mathbb R,\) se define el diámetro del conjunto \(A\) como \(\require{AMSsymbols}\def\lon#1{\left \vert {#1} \right \vert}\)$$d(A) = \sup \{ \lon{x-y} : x,y \in A \}.$$ Se considera la siguiente función derivable $$f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R : \exists M \gt 0, \lon{f'(x)} \leqslant M, \quad \forall x \in \mathbb R.$$ Demostrar que:

  1. Dado \(r \gt 0,\) si \(A\) es tal que \(d(A) \leqslant \frac{r}{M},\) entonces \(d \big ( f(A) \big ) \leqslant r.\)
  2. Sea \(S \subset \mathbb R\) acotado y supongamos que \(M \lt 1.\) Calcular $$\lim_{n\to\infty} d\big ( f^n(S) \big )$$ donde \(f^n(S) = \{(f \circ \dots \circ f)(x) : x \in S \}.\)

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C. F. Navarra 2021-Euskera-COVID-P1

a) Siendo \(f\) y \(g,\) \(n\) veces diferenciables, verifique que la n-ésima derivada de su producto es \(\require{AMSmath}\) $$(f \cdot g)^{(n)} (x) = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} f^{(n -k)}(x) \, g^{(k)}(x).$$

b) Siendo \(\def\E{\, \mathrm {e}} \require{AMSmath} \DeclareMathOperator{\sin}{sen}\)\(h(x) = \E^x \, \sin (x),\) calcule \(h^{(4)} \left ( \frac{\pi}{2} \right ).\)

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C. F. Navarra 2021-Euskera-P3

Dada la función \(f\) definida en \(\mathbb R\) y derivable en todo su campo de existencia, llamamos a la función \(g\), $$g(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{f(-x) -2f(0) + f(x)}{x^2}, &\text{si }x \ne 0 \\[0.5em] m, & \text{si }x=0 \end{cases}$$
a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos {0{,}75}\) Compruebe que si existe \(f^{\prime\prime}(0)\) y si \(m = f^{\prime\prime}(0)\), entonces, \(g\) es continua en \(\mathbb R\).
b) \(\puntos {1}\) Compruebe que si \(f\) es dos veces diferenciable en \(\mathbb R\) y si existe \(f^{\prime\prime\prime}(0),\) entonces, \(g\) es derivable en todo \(\mathbb R.\) Calcula \(g^{\,\prime}\).
c) \(\puntos {0{,}75}\) Calcule el siguiente límite aplicando la sección a) $$\lim_{n \to \infty} \frac{(n -1)^\alpha -2n^\alpha + (n + 1)^\alpha}{n^{\alpha -2}}, \quad \alpha \gt -1$$

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