Sea \(\mathbb P_3(t)\) el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que \(3\) en la variable \(t.\) Se considera la aplicación: $$f : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb P_3(t) \text{ dada por } f(x,y,z) = x \, t^3 + y \, t + (y + z).$$
a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos {0{,}5}\) Demostrar que es una aplicación lineal.
b) \(\puntos {0{,}5}\)Hallar la matriz coordenada de \(f\) respecto de las bases canónicas de \(\mathbb R^3\) y \(\mathbb P_3(t)\).
c) \(\puntos {0{,}75}\) ¿Es \(f\) biyectiva? Razónalo.
d) \(\puntos {0{,}75}\) Hallar la matriz coordenada de \(f\) respecto de las bases \(\mathcal B = \{ (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) \}\) y \(\mathcal B^\prime = \{ t^3, t^2 + t, t + 1, 1 \}.\)