I. Baleares. Menorca 2022-A-E3

Se dispone de dos urnas \(A\) y \(B\) con bolas blancas y bolas negras. En la urna \(A\) tenemos \(p\) bolas blancas y \(q\) bolas negras. En la urna \(B\) tenemos \(q\) bolas blancas y \(p\) bolas negras. Cogemos aleatoriamente una bola de la urna \(A\) y la pasamos a la urna \(B.\) Después, pasamos una bola de la urna \(B\) a la urna \(A\).

1. Calcula la probabilidad de que, al hacer estas operaciones, las urnas queden con la misma composición que tenían inicialmente. Expresa el resultado en función de \(p\) y de \(q.\)
2. Sabiendo que el número de bolas de cada urna es par, igual a \(2k,\) calcula cuál será la composición de las urnas para la que la probabilidad anterior sea máxima.
3. Calcula esta probablidad de forma explícita.