Galicia 2018-E1-P3

Las circunferencias \(C_0, C_1, \dots, C_n,\dots\) son tangentes a las rectas \(\bf a\) y \(\bf b\) que se cortan en \(\bf P\) y cada \(C_n\) es tangente a la siguiente \(C_{n+1},\) de menor radio. Llamaremos \(O_n\) al centro de la circunferencia \(C_n,\) \(r_n\) a su radio, \(A_n\) al punto de tangencia con la recta \(\bf a,\) \(T_n\) a su punto de tangencia con \(C_{n+1}\) y \(d_n\) a la distancia de \(P\) a \(O_n.\) Sea \(r_0=3,\) \(d_0=12.\)

a) Exprese \(r_n\) y \(d_n\) en función de \(n\).
b) Calcule el límite de la suma de las áreas de todos los círculos.
c) Demuestre que los triángulos de vértices \(A_n,\) \(T_n,\)  \(A_{n+1}\) son semejantes y rectángulos en el vértice \(T_n.\)