Sea \(\mathcal B = \{ u_1, u_2, u_3, u_4 \}\) una base del \(\mathbb R -\text{espacio}\) vectorial \(V.\) Consideremos los conjuntos \(\mathcal B^{\,\prime} = \{v_1, v_2, v_3, v_4 \}\) y \(\mathcal B^{\,\prime\prime} = \{ w_1, w_2, w_3, w_4 \},\) donde $$v_1 = (2, −2, 0, 1), v_2 = (1, 1, 1, 0), v_3 = (3, 0, 1, −1), v_4 = (0, −2, −1, 1) \\ w_1 = (0, 1, 0, 3), w_2 = (−1, 1, 0, 0), w_3 = (−2, 0, −1, 2), w_4 = (−1, −1, −1, 1) $$ están definidos en la base \(\mathcal B\).
a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos {0{,}75}\) Compruebe que \(\mathcal B^{\,\prime}\) y \(\mathcal B^{\,\prime\prime}\) son bases de \(V\).
b) \(\puntos {1}\) Encuentre la matriz del cambio de base \(\mathcal B^{\,\prime}\) a \(\mathcal B^{\,\prime\prime}\).
c) \(\puntos {0{,}75}\) Calcule las coordenadas del vector \(x\) con respecto a \(\mathcal B^{\,\prime},\) sabiendo que las coordenadas con respecto a \(\mathcal B^{\,\prime\prime}\) son \((0, −6, 3, −5).\)