Andalucía 2023-P4

Para cada \(n \in \mathbb N\) y para cada \(a,b \in \mathbb C\) considere la matriz $$A_n(a) = \pmatrix { 1+a & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ a & 1+a & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & a & 1+a & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1+a & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a & 1+a } \in \cal M_{n \times n} (\mathbb C)$$ y el sistema de ecuaciones \(A_n(a) X = \pmatrix {0 & 0 & \dots & b}^{\sf T}\) con \(X \in \cal M_{n \times 1} (\mathbb C).\)

1. Calcule los siguientes determinantes: \(\det (A_1(a)),\) \(\det (A_2(a)),\) \(\det (A_3(a)).\)
2. Obtenga una relación lineal entre los determinantes de \(A_n(a),\) \(A_{n+1}(a)\) y \(A_{n+2}(a)\).
3. Halle, según los valores de \(a\) y \(n,\) una expresión para el determinante de \(A_n(a).\)
4. Estudie el sistema \(A_n(a) X = \pmatrix {0 & 0 & \dots & b}^{\sf T}\) según los valores de \(a, n, b.\)