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Andalucía 2023-P1

  1. Se tienen \(n+1\) cajas idénticas con \(n\) bolas en cada caja. En la primera caja hay \(n\) bolas negras; en la segunda caja hay \(n-1\) bolas negras y \(1\) bola blanca; en la tercera, hay \(n-2\) bolas negras y \(2\) bolas blancas y así sucesivamente, hasta que en la última caja hay \(n\) bolas blancas. Se toma una caja al azar y de ella se extraen tres bolas de una vez.
    1. Calcule la probabilidad de que las tres bolas sean blancas.
    2. Suponiendo que, tras la extracción, las tres bolas son blancas, calcule el
      número de cajas que tiene que haber para que la probabilidad de que provengan las tres bolas blancas de las dos últimas cajas, sea igual a \(\frac{2}{3}.\)
  2. Dos varillas \(AB\) y \(BC\) de igual longitud y articuladas en \(B\) tienen fijo el extremo \(A.\) Si el extremo \(C\) se mueve sobre la recta \(AC,\) halle la ecuación del lugar geométrico de un punto \(P\) tomado en \(BC.\)

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Andalucía 2023-P2

  1. En un establecimiento comercial la salida diaria de cierto tipo de electrodoméstico viene descrita por una variable aleatoria \(X\) con soporte \({\cal D}_X = \{0,1,2,3,\dots,n\}.\) Se sabe que un \(100\,a\%\) de los días, \(a \in [0,1],\) no se vende ningúna aparato, mientras que la probabilidad de vender un número fijo de ellos es directamente proporcional a ese número.
    1. Demuestre que se verifica \(\displaystyle\sum_{i=1}^n i^2= \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad n \in \mathbb N.\)
    2. Calcule la ley de probabilidad asociada al fenómeno aleatorio descrito: función de masa de probabilidad y función de distribución.
    3. Si el vendedor observa que, por término medio, cada mes (30 días) vende \(1485\) aparatos y el \(90\%\) de los días tiene alguna venta, ¿cuántos electrodomésticos puede vender, como máximo, cada día? ¿Cuál es esa probabilidad?
  2. Halle el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje \(OX,\) la región del plano que resulta de la intersección del interior de \(x^2+y^2=17\) con el exterior de \(x^2+y^2=17x.\)

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Andalucía 2023-P4

Para cada \(n \in \mathbb N\) y para cada \(a,b \in \mathbb C\) considere la matriz $$A_n(a) = \pmatrix { 1+a & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ a & 1+a & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & a & 1+a & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1+a & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a & 1+a } \in \cal M_{n \times n} (\mathbb C)$$ y el sistema de ecuaciones \(A_n(a) X = \pmatrix {0 & 0 & \dots & b}^{\sf T}\) con \(X \in \cal M_{n \times 1} (\mathbb C).\)

  1. Calcule los siguientes determinantes: \(\det (A_1(a)),\) \(\det (A_2(a)),\) \(\det (A_3(a)).\)
  2. Obtenga una relación lineal entre los determinantes de \(A_n(a),\) \(A_{n+1}(a)\) y \(A_{n+2}(a)\).
  3. Halle, según los valores de \(a\) y \(n,\) una expresión para el determinante de \(A_n(a).\)
  4. Estudie el sistema \(A_n(a) X = \pmatrix {0 & 0 & \dots & b}^{\sf T}\) según los valores de \(a, n, b.\)

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Andalucía 2023-P5

  1. Un grupo de alumnos de 1.º de la ESO va a visitar las instalaciones deportivas de un equipo de baloncesto. Para dinamizar la visita, el club ha preparado una actividad para el alumnado. Sobre la cancha han colocado cierto número de pelotas de baloncesto. Si cada pelota dispuesta la toma un alumno distinto, quedaron \(n\) alumnos sin haber cogido ninguna pelota. Sin embargo, si se montan equipos de \(n\) alumnos alrededor de cada pelota dispuesta, quedarán libres \(n\) pelotas. ¿Cuántas pelotas ha dispuesto el equipo de baloncesto para organizar la actividad?
  2. Dada la función \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{\ln x}\),
    1. Represéntela.
    2. Calcule, según el valor de \(a \in \mathbb R,\) el número de soluciones de la ecuación $$x-a\ln x = 0.$$

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Andalucía 2021-P1

a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos 6\) Se lanzan \(n\) monedas una detrás de otra. En cada lanzamiento, la probabilidad de obtener cara es \(p.\) Si se han obtenido \(k\) caras, \(0 \le k \le n\), ¿cuál es la probabilidad de que haya aparecido cara en la primera moneda?.

b) \(\puntos 4\) Demuestre que todo complejo \(\def\I{\, \mathrm i \,}\)\(z\) de módulo \(1\) con \(z \ne 1\) puede escribirse de la forma $$\frac{1 + \mu \I}{1 -\mu\I}, \quad \mu \in \mathbb R.$$ Halle \(\mu\) en función del argumento de \(z\).

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Andalucía 2021-P2

  1. \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos 6\) Estudie los extremos de la función \(\def\E{\,\mathrm e}\)$$f(x) = | 2x -1 | \E^{-|x-2|}, \quad \text{en } [-3,3].$$
  2. \(\puntos 4\) Calcule el límite de la sucesión definida por $$\frac{1}{\ln n} \sum_{k=1}^{n} \left ( 1 -\cos \frac{\pi}{\sqrt k} \right ).$$

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Andalucía 2021-P3

a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos 5\) Pruebe que \(\require{AMSmath}\DeclareMathOperator{\sin}{sen}\) $$\sum_{k=0}^{n} \cos k\theta = \frac{1}{2} + \frac{\sin \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \theta}{2 \sin \frac{\theta}{2}}.$$

b) \(\puntos 5\) Dado un triángulo \(ABC\), pruebe que es rectángulo si, y solo si, se cumple \(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2\).

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Andalucía 2021-P4

a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos {2{,}5}\) Sea \(\def\vecbf#1{\mathbf {#1}}\)\(V\) un espacio vectorial sobre un cuerpo \(\mathbb K\). Pruebe que si un vector \(\vecbf {v}\) depende linealmente de \(\{ \vecbf {u_1}, \vecbf {u_2}, \vecbf {u_3} \}\) pero no depende linealmente de \(\{ \vecbf {u_2}, \vecbf {u_3} \}\) entonces \(\vecbf {u_1}\) depende linealmente de \(\{ \vecbf {v}, \vecbf {u_2}, \vecbf {u_3} \}\).

b) En el espacio vectorial \(\mathbb Q^4\) se consideran los subespacios $$S_1 = \left \langle \pmatrix {1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }, \,  \pmatrix {1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 }, \, \pmatrix {1 \\ 3 \\ 2 \\ 0 } \right \rangle, \quad S_2 : \begin{cases} x -y = 0 \\ x -z = 0 \end{cases}, \quad S_3 : y + z = 0.$$

b.1) \(\puntos {3{,}5}\) Halle \(\dim (S_1 + S_2)\) y \(\dim (S_1 \cap S_2)\).
b.2) \(\puntos {2{,}5}\) Halle una base de \(S_1 \cap S_3\).
b.3) \(\puntos {1{,}5}\) ¿Qué dimensión tiene \(S_1 + S_3\)?

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Andalucía 2021-P5

a) Halle el volumen del toro de revolución que se obtiene al girar la circunferencia \((x -a)^2 + y^2 = b^2,\) \( (0 \lt b \lt a)\) alrededor del eje de ordenadas.

b) Siendo $$a_n = \frac{n^k}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}$$ el término general de una serie, se pide:

b.1) Sustituye el exponente \(k\) por el mayor número entero compatible con la condición de ser convergente la serie \(\sum_{n=1}^\infty a_n\).
b.2) Halle la suma de la serie para dicho \(k\).

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