You dont have javascript enabled! Please enable it! triángulo de Pascal archivos - Cuadernos | El cartapacio

Andalucía. Sevilla 1996-P1

Sea \(P_n\) el espacio vectorial de los polinomios reales de variable real, de grado menor o igual que \(n\).
a) Demostrar que \(P=\{p_0, p_1,\dots,p_n\},\) donde \(p_i(x) = x^i,\) es una base de \(P_n\).
b) Demostrar que \(Q=\{q_0,q_1,\dots,q_n\},\) donde \(q_i(x)= (1+x)^i,\) es una base de \(P_n\).
c) Expresar las ecuaciones del cambio de la base \(Q\) a la base \(P\).
d) Probar que para \(k \le n,\) \(\require{AMSmath}\quad\displaystyle\binom {k}{k} + \binom {k+1}{k} + \dots + \binom {n}{k} = \binom {n+1}{k+1}\).
e) Calcular las coordenadas de \(R(x)\) en la base \(P\) siendo \(R(x) = (1,1,\dots,1)\) en la base \(Q.\)

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Andalucía 2006-P7

Sean \(k, p, n \in \mathbb N,\) con \(0 \le k \le p \le n\).
a) Demostrar \(\require{AMSmath}\displaystyle \binom{n}{k}\binom{n -k}{p -k} = \binom{p}{k}\binom{n}{p}\).
b) Demostrar $$\binom{n}{0}\binom{n}{p} + \binom{n}{1}\binom{n -1}{p -1} + \binom{n}{2}\binom{n -2}{p -2} + \dots + \binom{n}{p}\binom{n -p}{0} = 2^p \binom{n}{p}$$

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