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Galicia 2021-E2-P1

Considera en \(\mathbb R^4\) los subespacios: $$S = \{ (x,y,z,t) \in \mathbb R^4 : x + 2y + z -t = 0, z -t = 0 \}, \quad T = \langle (1,1,1,1) \rangle.$$

a) Obtener una base de \(S+T\).
b) Razonar porqué la suma \(S + T\) es directa.
c) Determinar si \(\vec {\mathbf {\,v\,}} = (7,1,5,5)\) pertenece a \(S + T\) y, en caso afirmativo, descomponerlo como suma de un vector \(\vec {\mathbf v_S}\) en \(S\) y un vector \(\vec {\mathbf v_T}\) en \(T\).
d) ¿Son \(S\) y \(T\) complementarios uno del otro?

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Andalucía 2021-P4

a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos {2{,}5}\) Sea \(\def\vecbf#1{\mathbf {#1}}\)\(V\) un espacio vectorial sobre un cuerpo \(\mathbb K\). Pruebe que si un vector \(\vecbf {v}\) depende linealmente de \(\{ \vecbf {u_1}, \vecbf {u_2}, \vecbf {u_3} \}\) pero no depende linealmente de \(\{ \vecbf {u_2}, \vecbf {u_3} \}\) entonces \(\vecbf {u_1}\) depende linealmente de \(\{ \vecbf {v}, \vecbf {u_2}, \vecbf {u_3} \}\).

b) En el espacio vectorial \(\mathbb Q^4\) se consideran los subespacios $$S_1 = \left \langle \pmatrix {1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }, \,  \pmatrix {1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 }, \, \pmatrix {1 \\ 3 \\ 2 \\ 0 } \right \rangle, \quad S_2 : \begin{cases} x -y = 0 \\ x -z = 0 \end{cases}, \quad S_3 : y + z = 0.$$

b.1) \(\puntos {3{,}5}\) Halle \(\dim (S_1 + S_2)\) y \(\dim (S_1 \cap S_2)\).
b.2) \(\puntos {2{,}5}\) Halle una base de \(S_1 \cap S_3\).
b.3) \(\puntos {1{,}5}\) ¿Qué dimensión tiene \(S_1 + S_3\)?

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I. Baleares. Ibiza 2021-E1-P1

Una matriz cuadrada se dice mágica si, y solo si, las sumas de los elementos de sus filas, de sus columnas y de sus diagonales son todas iguales.
a) Demuestre que cualquier matriz \(M\) es la suma de una matriz simétrica \(M_1\) y una matriz antisimétrica \(M_2\) (2,5 p.)
b) Demuestre que la suma de matrices mágicas es también una matriz mágica y que el producto de un escalar por una matriz mágica es también una matriz mágica. (2 p.)
c) Calcule todas las matrices mágicas antisimétricas de orden \(3\) (1,5  .)
d) Construya todas las matrices mágicas simétricas de orden \(3\) (puede ser recomendable comenzar por las matrices mágicas de suma nula y después generalizarlo a suma \(s \ne 0\). (3 p.)
e) Demuestre que las matrices mágicas de orden \(3\) forman un espacio vectorial sobre \(\mathbb R.\) ¿Cuál es su dimensión? (1 p.)

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Aragón 2021-E1-P2

En un espacio vectorial \(E\) de dimensión \(4\) se consideran dos subespacios vectoriales \(V\) y \(W\) que, con respecto a determinada base de \(E,\) vienen descritos por las ecuaciones $$V : \begin{cases} x -ay + z + bt = 0 \\ y -t = 0 \end{cases}, \quad W : \begin{cases}ax -y -bz + t = 0 \\ x + z = 0 \end{cases}, \quad (a,b \in \mathbb R).$$ En función de \(a\) y \(b\) calcule las dimensiones de los subespacios \(V,\) \(W,\) \(V \cap W\) y \(V + W.\)

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C. F. Navarra 2018-P1

Dados los siguientes subespacios vectoriales \(S_1,\) \(S_2\) de \(\mathbb R^4\) $$S_1 = \left<{(1,1,-2,1), (0,1,-1,2),(2,-1,-1,-4)}\right> \\ S_2 = \left\lbrace(x,y,z,t) \in \mathbb R^4 : 3x+az=0, x-2y-2t=0\right\rbrace.$$ Hallar «a» para que \(S_1+S_2\) sea distinto de \(\mathbb R^4.\) En este caso, obtener la dimensión y una base de \(S_1 \cap S_2.\)

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