You dont have javascript enabled! Please enable it! límite de función archivos - Cuadernos | El cartapacio

C. F. Navarra 2021-Euskera-P3

Dada la función \(f\) definida en \(\mathbb R\) y derivable en todo su campo de existencia, llamamos a la función \(g\), $$g(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{f(-x) -2f(0) + f(x)}{x^2}, &\text{si }x \ne 0 \\[0.5em] m, & \text{si }x=0 \end{cases}$$
a) \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos {0{,}75}\) Compruebe que si existe \(f^{\prime\prime}(0)\) y si \(m = f^{\prime\prime}(0)\), entonces, \(g\) es continua en \(\mathbb R\).
b) \(\puntos {1}\) Compruebe que si \(f\) es dos veces diferenciable en \(\mathbb R\) y si existe \(f^{\prime\prime\prime}(0),\) entonces, \(g\) es derivable en todo \(\mathbb R.\) Calcula \(g^{\,\prime}\).
c) \(\puntos {0{,}75}\) Calcule el siguiente límite aplicando la sección a) $$\lim_{n \to \infty} \frac{(n -1)^\alpha -2n^\alpha + (n + 1)^\alpha}{n^{\alpha -2}}, \quad \alpha \gt -1$$

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Cantabria 2021-E1-P2

Calcular, aplicando el teorema del valor medio, los siguientes límites:
a) \(\require{AMSmath}\DeclareMathOperator{\arctan}{arctg}\DeclareMathOperator{\tan}{tg}\DeclareMathOperator{\sin}{sen}\)\(\lim\limits_{x\to 0} \displaystyle\frac{\tan(a+x) -\tan(a -x)}{\arctan(a + x) -\arctan(a -x)}\) (15 puntos)
b) \(\lim\limits_{x\to 0} \displaystyle\frac{e^{\sin(a + x)} -e^{\sin a}}{\sin(a + x) -\sin a}\) (10 puntos)

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Andalucía. Sevilla 1996-P5

En un triángulo rectángulo el cateto \(AB\) es constante de longitud \(a\) siendo el otro cateto \(AC\) variable de longitud \(b.\) En la circunferencia circunscrita al triángulo, sea \(S\) el área del menor de los dos segmentos circulares determinados por el cateto \(AC.\) Hallar \(\lim_{b\to 0} \displaystyle \frac{S}{b^3}.\)

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Galicia 2019-E1-P5

Tomando sobre el eje \(OX\)\(\require {AMSsymbols}\) un punto \(P(a,0)\), construimos sobre la circunferencia \(x^2+y^2=r^2,\) \((0 \leqslant a \lt r)\) el triángulo de vértices \(P(a,0),\) \(R(r,0),\) \(Q(a, \sqrt{r^2 -a^2}).\) Consideremos ahora el triángulo curvilíneo cuyos lados son: el segmento \(\overline{PQ},\) el segmento \(\overline{PR},\) y el arco de circunferencia \(\overparen{QR}\). Calcular el límite del cociente de las áreas de los triángulos mencionados si hacemos tender \(«a»\) hacia \(«r».\)

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