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C. F. Navarra 2021-COVID-P1

Dadas \(\def\D{\;\mathrm d}\def\E{\mathrm e}\)$$\eqalign { f(x) &= \left [ \int_0^x \E^{-t^2} \D t \right ]^2 \\ g(x) &= \int_0^1 \frac{\E^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2} \D t, }$$ demostrar que \(F(x) = f(x) + g(x)\) es una constante y determinarla. \(\def\puntos#1{[{\it #1 \text{ puntos}}]}\)\(\puntos {2{,}5}\)

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Murcia 2021-P3

¿Qué funciones \(\def\D{\text{ d}} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R\) que sean integrables en cualquier intervalo \([0,x],\) si \(x \gt 0\) y \([x,0],\) si \(x \lt 0,\) satisfacen la condición $$x \, f(x) = \int_0^x f(t) \D t$$ para cualquier número real distinto de \(0\)?

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