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Directriz de las cónicas

Desde la escuela secundaria conocemos que en la definición de parábola interviene una recta fija, la directriz, y un punto fijo, el foco. El lugar geométrico de los puntos que están situados a igual distancia de ambos elementos fijos es una parábola. O de forma equivalente, la razón de distancias al foco y a la directriz es igual a la unidad. Pero todas las cónicas se pueden definir como lugar de los puntos para los que la razón de distancias a un punto fijo y a una recta fija es constante. Para los puntos de la parábola, esta razón se mantiene igual a la unidad, es menor que la unidad para una elipse y mayor que la unidad para una hipérbola.

En el artículo Elementos de las cónicas. Intersección con rectas  se descubren varios lugares que definen cónicas y que, ahora, resumimos.

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Madrid 2014-P1

Un segmento rectilíneo \(AB\) de longitud \(L\) que se apoya sobre los ejes coordenados positivos.

  1. Cuando el segmento \(AB\) en el primer cuadrante forma un triángulo isósceles, determinar el lugar geométrico de los puntos desde los que se ve el segmento bajo un ángulo de \(30^\circ\).
  2. Si definimos \(A(1,0),\) \(B(0,1)\) determinar el lugar geométrico de los centros de las hipérbolas equiláteras que pasan por los vértices del triángulo definido por \(A,\) \(B\) y el origen de coordenadas.

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Com. Valenciana 2015-E1-P2

Se consideran los puntos \(A(a,0)\) y \(A'(-a,0)\), donde \(a\gt 0,\)  y un punto \(M\) variable sobre la recta \(r\) de ecuación \(y=x+1.\) Desde \(A\) se traza la recta perpendicular a \(A’M\)  y desde \(A’\) se traza la recta perpendicular a \(AM,\) cortándose ambas rectas en un punto \(Q.\) Determina el lugar geométrico de los puntos \(Q\) según los valores positivos de \(a\) y clasifíquelo.

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