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El doble producto vectorial

La identidad conocida como doble producto vectorial se expresa como \(\def\vecbf#1{\mathbf {#1}}\) $$\vecbf a \times (\vecbf b \times \vecbf c) = (\vecbf a \cdot \vecbf c) \, \vecbf b-(\vecbf a \cdot \vecbf b) \, \vecbf c$$ para cualesquiera vectores \(\vecbf a, \vecbf b, \vecbf c\) del espacio euclideo \(\mathbb R^3.\) La identidad refleja que el doble producto vectorial es un vector del plano generado por el sistema \(\{\vecbf b, \vecbf c \},\) es decir, es combinación lineal de ellos.

Para su demostración utilizaremos unos resultados previos.

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Rectas apoyadas en dos rectas

Sean dos rectas \(\def\vecbf#1{\mathbf {#1}}\def\Lon#1{\Vert #1 \Vert}\require{AMSmath}\) \(r\) y \(r’\) del espacio afín euclídeo tridimensional. Recordamos que la base del sistema de referencia es ortonormal. Podemos suponer una de ellas definida por sus ecuaciones implícitas, como intersección de planos $$\eqalign { r &\colon \begin{cases}\pi_1 \colon a_1 x + b_1 y +c_1 z + d_1= 0 \\ \pi_2 \colon a_2 x + b_2 y +c_2 z + d_2 = 0 \end{cases} \\ & \hphantom{\colon}  }$$ y la otra por cualquiera de sus formas continua, vectorial o paramétrica: $$r’ \colon \dfrac{x -p’_1}{v’_1} = \dfrac{y -p’_2}{v’_2} = \dfrac{x -p’_3}{v’_3}.$$

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I. Baleares. Menorca 2022-A-E5

Dado el plano de ecuación \(\pi : x+2y-z=0\) y la recta definida por \(r : \begin{cases} x+y=0, \\ 3x-y+z=0. \end{cases}\) Se considera la transformación lineal \(T\) proyección sobre el plano \(\pi\) en la dirección de la recta \(r.\)

  1. Deduzca que \(T^2 = T.\)
  2. Encuentra la matriz \(A,\) en la base canónica, de la transformación lineal \(T.\)
  3. Sea el subespacio \(F = \left\langle (2,-1,a), (1,a,3)\right\rangle.\) Calcula, si es posible, los valores del parámetro \(a\) de manera que \(T(F)\) tenga dimensión \(1.\)

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I. Baleares. Menorca 2018-E2-P4

Sea \(\def\prod#1{\left\langle #1 \right\rangle}(E, \prod{\cdot,\cdot})\) un espacio euclídeo de dimensión finita \(n\gt 1\).  Sean \(\psi\) y \(\phi\) dos automorfismos de \(E\) tales que, para cualesquiera \(x,y \in E,\) se cumple Ver nota [1] :
• \(\psi\) es autoadjunto: \(\prod{\psi(x), y} = \prod{x,\psi(y)}\),
• \(\prod{\phi(x), y} = -\prod{x,\phi(y)}.\)

Si \(\psi\) y \(\phi\) conmutan, demostrar que:

  1. Para todo \(x\in E,\) \(\psi(x)\) y \(\phi(x)\) son ortogonales.
  2. \(\psi +\phi ~\) y \(~\psi -\phi\) son automorfismos de \(E\).
  3. Para todo \(x\in E,\) \(\Vert(\psi + \phi)(x)\Vert = \Vert(\psi -\phi)(x)\Vert,\)  donde \(\Vert \cdot \Vert\) es la norma definida por el producto escalar \(\langle\cdot,\cdot\rangle\).
  4. Si \(h=(\psi + \phi)\circ(\psi -\phi)^{-1},\) \(\Vert h(x) \Vert = \Vert x\Vert\) para todo \(x \in E\).
  5. Para todo \(x,y \in E,\) \(\prod{h(x),h(y)} = \prod{x,y}.\)

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