You dont have javascript enabled! Please enable it! diagonalización archivos - Cuadernos | El cartapacio

Cantabria 2012-P2

Se considera el endomorfismo \(f\) de \(\mathbb R^4\) cuya matriz asociada respecto de la base canónica de \(\mathbb R^4\) es la siguiente $$M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$

  1. Estudie si \(f\) es diagonalizable.
  2. En caso afirmativo, encuentre una base de \(\mathbb R^4\) respecto de la cual la matriz asociada a \(f\) sea diagonal.

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I. Baleares. Menorca 2021-E1-P5

En \(\mathbb R^3\) se considera el plano \(\pi\) de ecuación \(x + y + z = 0.\) Se considera la transformación\(f : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3\) que a cada punto \(P\) le hace corresponder un punto \(f(P)\) de manera que el punto medio del segmento \(\overline{P \, f(P)}\) es el punto \(P^{\prime}\) simétrico de \(P\) respecto del plano \(\pi\).
a) Interpreta geométricamente la transformación \(f\).
b) Determinar una base ortonormal en la cual la matriz asociada a \(f\) sea diagonal. Determina también la matriz asociada a \(f\) en esta base.
c) Calcula la matriz de \(f\) en la base canónica.
d) Se considera el punto \(P\) de coordenadas \(P(2,2,3).\) Calcula las coordenadas del punto \(f^{10}(P)\).
e) Se considera la cuestión: «A partir del punto \(\mathit {P(2,2,3)},\) calcula las coordenadas de \(\mathit {f(P)}\)». Ubica esta cuestión en el curriculo de bachillerato, resuelve la cuestión en este contexto de manera detallada e indicando todos los conocimientos previos necesarios.

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Castilla y León 2021-T5-P4

Sea el espacio vectorial \(\def\matset{\mathcal M_n}\)\(\matset\) de las matrices \(\text{n x n}\) de números reales. Para la matriz \(A=[a_{ij}] \in \matset\) se define: \(D(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}\).
Sea \(f\) el endomorfismo definido por $$\eqalign { f : \matset &\rightarrow \matset \\ A &\mapsto D(A) \cdot \mathrm I_n }$$ siendo \( \mathrm I_n\) la matriz identidad. Calcular los valores propios de \(f\) y estudiar si \(f\) es diagonalizable.

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I. Baleares. Ibiza 2019-E1-P2

Consideremos la matriz simétrica \(A = \begin{pmatrix}3 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\).

a) Calcule los valores y vectores propios asociados a \(A\).
b) Calcule una base \(\mathcal B\) de \(\mathbb R^3\) ortonormal.
c) Encuentre una matriz ortogonal \(P\) tal que \(P^{-1} \cdot A \cdot P\) sea diagonal.
NOTA: Recuerde que \(P\) es ortogonal si y solo si \(\require{AMSsymbols}P^{-1} = {P}^\intercal\).

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