You dont have javascript enabled! Please enable it! 1996 archivos - Cuadernos | El cartapacio

Andalucía. Sevilla 1996-P3

En el conjunto de los números naturales se define la aplicación \(d: \mathbb N \times \mathbb N \rightarrow \mathbb R^{+}\) dada por \(d(x,y)=\) n.º de divisores de \(x\) que no son divisores de \(y ~ + \) n.º de divisores de \(y\) que no son divisores de \(x.\)  Demostrar,
a) La aplicación define una distancia en \(\mathbb N\).
b) Hallar las condiciones que deben cumplir \(x\) e \(y\) para que \(d(x,y)=1\).
c) Hallar los valores de \(x\) para los que \(d(x,3)=2\).

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Andalucía. Sevilla 1996-P2

Encontrar todas las funciones definidas en el conjunto de números reales estrictamente positivos y con valores reales estrictamente positivos, que verifiquen las dos condiciones siguientes:
a) Para cualesquiera \(a,b \in \mathbb R^+,\) \(f \big ( a \cdot f(b) \big ) = b \cdot f(a)\).
b) \(\lim_{x\to\infty} f(x) = 0.\)

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Andalucía. Sevilla 1996-P5

En un triángulo rectángulo el cateto \(AB\) es constante de longitud \(a\) siendo el otro cateto \(AC\) variable de longitud \(b.\) En la circunferencia circunscrita al triángulo, sea \(S\) el área del menor de los dos segmentos circulares determinados por el cateto \(AC.\) Hallar \(\lim_{b\to 0} \displaystyle \frac{S}{b^3}.\)

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Andalucía. Sevilla 1996-P4

Los puntos \(M, N, P\) están situados en los lados \(AB,\) \(BC,\) y \(AC,\) respectivamente del triángulo \(ABC\) y son tales que: $$\frac{\vert AM \vert}{\vert AB \vert} = \frac{\vert BN \vert}{\vert BC \vert} = \frac{\vert CP \vert}{\vert CA \vert} = \frac{1}{3}$$ Los segmentos \(AN,\) \(BP\) y \(CM\) se cortan formando un triángulo cuya área representamos por \(T.\) Hallar la razón entre el área del triángulo \(ABC\) y \(T.\)

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Andalucía. Sevilla 1996-P1

Sea \(P_n\) el espacio vectorial de los polinomios reales de variable real, de grado menor o igual que \(n\).
a) Demostrar que \(P=\{p_0, p_1,\dots,p_n\},\) donde \(p_i(x) = x^i,\) es una base de \(P_n\).
b) Demostrar que \(Q=\{q_0,q_1,\dots,q_n\},\) donde \(q_i(x)= (1+x)^i,\) es una base de \(P_n\).
c) Expresar las ecuaciones del cambio de la base \(Q\) a la base \(P\).
d) Probar que para \(k \le n,\) \(\require{AMSmath}\quad\displaystyle\binom {k}{k} + \binom {k+1}{k} + \dots + \binom {n}{k} = \binom {n+1}{k+1}\).
e) Calcular las coordenadas de \(R(x)\) en la base \(P\) siendo \(R(x) = (1,1,\dots,1)\) en la base \(Q.\)

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