Galicia 2016-P7

Sea \(\def\zalfa{\mathbb Z[\alpha]}\)\(\alpha \in \mathbb C\) una solución de la ecuación:\[E : x^2-bx+c=0,\] donde \(b, c \in \mathbb Z\) son tales que \(b^2-4c \lt 0\) y sea \(\zalfa\) el conjunto de los \(z=p+q\alpha \in \mathbb C\) tales que \(p, q \in \mathbb Z.\)

1. Demuestre que \(\zalfa\) es un subanillo conmutativo y unitario de \(\mathbb C\) respecto de las operaciones usuales de suma y producto de \(\mathbb C.\)
2. Demuestre que el conjunto \(U(\zalfa]\) de los elementos invertibles del anillo conmutativo y unitario \(\zalfa\) es un grupo con la multiplicación de \(\mathbb C\) (grupo multiplicativo de \(\zalfa).\)
3. Pruebe que \(\zalfa=\mathbb Z[\overline \alpha].\)
4. Si se considera la aplicación \(f : \zalfa\to \mathbb N\) definida por \(f(z)=\lon{z}^2,\) calcule \(f(p+q\alpha)\) en función de \(b, c, p, q.\)
5. Si \(f\) es la aplicación definida en el apartado anterior, calcule \(f(U(\zalfa)).\)