El enunciado de los problemas de probabilidades geométricas no siempre sugiere que la geometría esté implicada en su resolución. En los problemas enmarcados en esta categoría se abordan cuestiones como: calcular la probabilidad de que un punto se halle en una figura \(F_A\) si se sabe que se halla en otra figura \(F_E.\) Estas figuras suelen encontrarse inmersas en \(\mathbb R,\) \(\mathbb R^2\) o \(\mathbb R^3\).
Para una introducción sencilla, pero muy instructiva, sobre probabilidades geométricas puedes visitar el sitio de «CK-12 Foundation».
Escribamos \(m(F_A)\) para indicar que \(m\) es algo que permite calcular la medida de la región: en unos casos será una longitud, en otros un área o un volumen. Es deseable que todas las probabilidades sean proporcionales a la medida de la región (lo que tenga doble medida tendrá doble probabilidad), es decir $$P(A)=k \cdot m(F_A).$$ En particular, para el suceso \(E\) de todos los resultados posibles \(P(E)=k \cdot m(F_E).\) Como esta probabilidad se toma igual a la unidad, tiene que ser \(k=1/m(F_E).\) En consecuencia, $$\eqalign { P(A) &= \frac{\text{«medida de lo favorable para A»}}{\text{«medida de lo posible»}} \\ &= \frac{m(F_A)}{m(F_E)} \tag{1}\label{eq1} }$$
Las varillas y cuerdas \((3\) y \(4)\) nos sugieren utilizar como medida la longitud de segmentos. La diana de dardos \((1)\) nos da pie a pensar en áreas para dar esas medidas. Los problemas sobre encuentros \((4\) y \(5)\) dan ejemplos de la lejanía que parece haber entre probabilidad y geometría.
• 1 • La diana que se utiliza para el juego de dardos tiene en su centro una zona circular roja llamada «Bull», [1] con una zona verde que la rodea, llamada Bull exterior (ver figura). (a) Plantea un criterio para ordenar de menor a mayor probabilidad las zonas: anillo [2] de dobles, sencillo, anillo de triples y «Bull». No requiere ningún cálculo; nos podemos ayudar de la idea expuesta en \(\eqref{eq1}\). (b) Con datos reales, raliza cálculos sobre estas probabilidades. Solución
Los problemas siguientes requieren conocimientos sobre coordenadas cartesianas y la ecuación de una recta.
• 2 • Al azar, se hace un corte en una cuerda. ¿Qué probabilidad hay de que el corte se haya dado por uno de los tercios extremos de la cuerda? ¿Y si damos dos cortes, cuál es la probabilidad de que alguno de los trozos supere la mitad de la cuerda? Solución
• 3 • Una varilla se dobla por dos puntos para formar con ella un triángulo. ¿Qué probabilidad hay de que esto ocurra si los puntos se eligen al azar? Solución
• 4 • Problema de la puntualidad [3]. Un joven y una señorita se han citado entre \(6\) y \(7\) de la tarde para reunirse en un lugar, conviniendo en no esperarse más que \(10\) minutos. Calcular la probabilidad de que se encuentren, suponiendo que lleguen al azar e independientemente entre las \(6\) y las \(7.\) Solución
• 5 • El problema del encuentro [4]. En Sikinia se organizan los duelos de la siguiente forma: Cada adversario acude al lugar elegido en cualquier momento entre las \(0\) h y la \(1\) h y espera durante \(6\) minutos (si se llega después de las \(0\) horas \(54\) minutos, sólo está hasta la \(1\) h). Si no coincide con el otro adversario, se marcha. ¿Cuál es la probabilidad de que haya duelo? ¿Cómo de probable será que haya duelo si son tres los posibles duelistas? Solución
(Dardos y Mates)
[1] El término proviene del nombre que recibe en los países anglosajones: «Bullseye» (de «Bull’s eye», Ojo de buey).
[2] Lo que aquí se llama anillo, en Matemáticas se conoce como «corona circular».
[3] El enunciado ha sido extraído del libro escrito por Sixto Ríos, Métodos Estadísticos, 6.ª ed., Madrid, Ediciones del Castillo, S. A., 1967, pág. 155.
[4] Este enunciado apareció en el libro de Arthur Engel, Probabilidad y Estadística, vol. 2, Valencia, Mestral libros, 1988, págs. 109 y 110.