• 1 • La diana que se utiliza para el juego de dardos tiene en su centro una zona circular roja llamada «Bull», [1] con una zona verde que la rodea, llamada Bull exterior (ver figura). (a) Plantea un criterio para ordenar de menor a mayor probabilidad las zonas: anillo [2] de dobles, sencillo, anillo de triples y zonas «Bull». (b) Con datos reales, calcula estas probabilidades.
Es aconsejable leer primero este artículo de introducción.
Aquí no interviene la destreza del tirador, sólo interviene el azar. Consideremos como posible que el dardo pueda caer en la zona numerada (sin valor en el juego), así, tendremos en la diana completa todos los resultados posibles.
De una manera intuitiva, podemos pensar que, dentro de una misma diana, tiene que ser «más fácil» (más probable) que un dardo caiga sobre una región con mayor área que otra. Con este criterio, el anillo de dobles tendrá mayor probabilidad que el anillo de triples y éste la tendrá mayor que la zona «Bull». Podríamos ordenar las áreas de las regiones de esta manera: «Bull», «Bull exterior», «Triples», «Dobles», «Números», «Sencillos», «Diana».
Utilizaremos áreas para medir las regiones. Estamos tomando el área de una región como medida de lo favorable para esa región. Como medida de lo posible, tomamos el área de la diana. Al cociente de estas dos cantidades lo llamamos probabilidad de la región. $$P(«Región») = \frac{A_{Región}}{A_{Diana}}.$$ Fijémonos que las regiones que se corresponden en las dos dianas tienen la misma probabilidad. Si llamamos \(A_D\) y \(A_d\) a las áreas de las dianas, tenemos (por construcción) \(A_D = 2A_d\). La región del \(20\) triple (\(20T\)) en la diana grande tiene la misma probabilidad que la región correspondiente (2t) en la diana pequeña: $$P_D(«20T»)=\frac{A_{20T}}{A_D} = \frac{2A_{20t}}{2A_d} = \frac{A_{20t}}{A_d}=P_d(«20t»).$$ Como tenía que ser. La probabilidad de una zona no depende del tamaño de la diana, porque todas las áreas se relativizan respecto del área de la diana donde se encuentran. Cualquier región en la diana pequeña se ha reducido a la mitad de la región correspondiente en la diana grande, pero no por ello cambia su probabilidad.
(b) La diana que se cuelga en la pared tiene un diámetro aproximado de \(451 \text{ mm}\) y la anchura de cada anillo es de \(10 \text{ mm}.\) El diámetro del «Bull» es \(13 \text{ mm}\) y el del anillo «Bull» exterior, \(32 \text{ mm}.\) El límite exterior del anillo de dobles tiene un diámtero de \(340 \text{ mm}.\) El límite interior del anillo de triples tiene \(190 \text{ mm}\) de diámetro. ¿Qué probabilidad tiene cada una de las zonas? ¿Qué probabilidad tiene la región veinte triple?
[1]↑ El término proviene del nombre que recibe en los países anglosajones: «Bullseye» (de «Bull’s eye», Ojo de buey).
[2]↑ Lo que aquí se llama anillo, en Matemáticas se conoce como «corona circular».