Cada vez estaremos menos familiarizados con los relojes analógicos, pero son un modelo excelente para comprender la aritmética modular. \(\def\bfmag#1{\color{magenta}{\bf #1}}\def\equivmod#1{\mathbin {\mathop \equiv_{\small #1}}}\def\otimesmod#1{\mathbin{\mathop{\otimes}_{\small #1}}}\def\oplusmod#1{\mathbin{\mathop{\oplus}_{\small #1}}} \def\ominusmod#1{\mathbin{\mathop{\ominus}_{\small #1}}} \def\clasemod#1#2{\left [\, #2 \, \right ]_{\small #1}}\def\invmod#1#2{{\clasemod{#1} {#2}}^{-1}}\)Los hay de \(12\) y de \(24\) horas, estos últimos menos comunes pero también útiles en algunos ámbitos. Aquí manejaremos ambos. Aunque el sistema de \(12\) horas requiere del uso de los posfijos a.m. (ante meridian) y p.m. (post meridian) para distinguir las horas antes y después de las doce del mediodía no vamos a preocuparnos de ello. Solo nos interesaremos por la hora que señala la manecilla horaria sobre el reloj.
Para sumar horas en el reloj de 12 horas utilizaremos el símbolo \(\oplus\) y el símbolo \(\equivmod{12}\) para indicar coincidencia en la posición de la manecilla. Primero vamos a señalar que en este reloj si a una hora le añadimos \(12\) horas (o cualquier múltiplo de \(12\)) la manecilla horaria señalará el mismo número. Por ejemplo, $$10 \oplus 0 \equivmod{12} 10 \oplus 12 \equivmod{12} 10 \oplus 24 \equivmod{12} \dots \equivmod{12} 10$$ Es decir, cada \(12\) horas la manecilla vuelve a estar en la misma posición.
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Si sumamos \(17\) horas, podemos quitar el exceso de \(12\) horas y el resultado será el mismo que sumando \(5\) horas. $$10 \oplus {17} \equivmod{12} 10 \oplus {5} \equivmod{12} 15 \equivmod{12} 3 \\ 10 \oplus {17} \equivmod{12} 27 \equivmod{12} 3$$ y nuestro reloj marcará las \(3\) horas. ¿Qué hay si retrocedemos en el tiempo? Son las 4 horas, ¿qué hora marcaba el reloj hace 7 horas? Podemos añadir vueltas completas de \(12\) horas $$ 4 \ominus {7} \equivmod{12} 4 \oplus (-7 + 12) \equivmod{12} 4 \oplus 5 \equivmod{12} 9 $$
Relojes de 24 horas
Son innumerables las ciudades medievales que erigen torres con relojes zodiacales y astronómicos de \(\bf \text{XXIIII}\) horas: Padua, Venecia, Brescia, Mantua en Italia, Praga en Rep. Checa (fuente original), Berna en Suiza, Wells, Hampton Court en Reino Unido, Rostock en Alemania, Estrasburgo, Beauvais, Lyon en Francia, Lund en Suecia, por nombrar algunos.
En la actualidad no son tan comunes pero algunos fabricantes los tienen en sus catálogos. Aunque hasta finales del sXVII los primeros relojes portátiles solo disponían de la manecilla horaria, sin duda legado de los relojes astronómicos, en la actualidad los modelos de 24 horas más originales regresan a ese minimalismo con la única manecilla y las 6 divisiones de cada hora en intervalos de 10 minutos. La manecilla da una vuelta completa cada día al mismo tiempo que lo hace la Tierra alrededor de su eje y su posición en el reloj se corresponde con la posición del sol en el cielo, el mediodía en lo más alto del horario diurno (6 h a 18 h). El horario nocturno ocupa la mitad inferior de la esfera. (Vea Partes del reloj)
Para sumar horas en este reloj utilizaremos el símbolo \(\oplus.\) La igualdad horaria la señalaremos con el símbolo \(\equivmod{24}.\) Ahora, los incrementos o decrementos de múltiplos de 24 h no afectan a la posición de la manecilla.
$$14 \oplus 0 \equivmod{24} 14 \oplus 24 \equivmod{24} 14 \oplus 48 \equivmod {24} \dots\equivmod {24} 14$$ Es decir, podemos quitar el exceso de 24 para obtener la hora del reloj. Si ahora son las 14 h, ¿qué hora marcará la manecilla pasadas 15 h? $$14 \oplus 15 \equivmod{24} 29 \equivmod{24} 5$$ ¿Qué hora marcó el reloj 50 horas atrás? $$14 \ominus 50 \equivmod{24} 14 \ominus 2 \equivmod{24} 12$$ donde hemos reducido a 24 horas en varios pasos $$\eqalign{-50 + 24 &= -26 \\ -26 + 24 &= -2 \\ -2 + 24 &= 22}$$
También puede calcularse$$14 \ominus 50 \equivmod{24} -36 \equivmod{24} -36 + 48 \equivmod{24} 12 $$ donde sumamos varias veces 24 h hasta conseguir un número positivo en la diferencia.
Si llamamos módulo al número de horas 12 o 24 que marca cada reloj, reducir el exceso de horas sobre el módulo es equivalente a quedarnos con el resto de dividir el número de horas entre el módulo. Así, sumar 27 horas en el reloj de 12 es como sumar 3 horas, que es el resto de la división 27 entre 12. Dos números \(h\) y \(h^\prime\) corresponden a la misma hora sobre el reloj de módulo \(n\) si la diferencia es múltiplo del módulo.$$ h \equivmod{n} h^\prime \iff h – h^\prime = \dot n$$ Otras situaciones cotidianas también se repiten modularmente. En el transcurrir del tiempo el día de la semana se repite módulo 7. Aunque no hay «relojes de 7 horas» podemos imaginarlos.
Siempre que sumemos o restemos múltiplos del módulo 7 el día de la semana no cambiará. Asociamos los números 0 a 6 a los días de la semana lunes a domingo, respectivamente. Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será pasados 45 días? Hoy miércoles le corresponde el 2: $$2 \oplus 45 \equivmod{7} 2 \oplus 3 \equivmod{7} 5 \\ 2 \oplus 45 \equivmod{7} 47 \equivmod{7} 5$$ número que le corresponde al sábado, ya que podemos quitar el exceso a 45 días \(45 – 6 \times 7 = 3\) y sumar 2 o podemos quitar el exceso a la suma \(47 – 6 \times 7 = 5\)
Otra situación modular, esta vez de módulo 12, la tenemos en los meses del calendario. Asignando los valores 0 a 11 a los meses enero a diciembre, podemos calcular el mes de alumbramiento. Sumar nueve meses \(m \oplus 9 \equivmod{12} m \oplus ( 9 – 12 ) \equivmod{12} m \ominus 3\) equivale a restar tres y por ese lado puede resultar un cálculo más sencillo. Si \(m = 7 \text{ (agosto)}\), el nacimiento se producirá en el mes \(7 \ominus 3 \equivmod{12} 4 \text{ (mayo)}.\)
Para profundizar sobre operaciones modulares lea el artículo Aritmética modular.