La notación sigma es una forma abreviada de expresar sumas, sobre todo las que omiten, con puntos suspensivos, varios de los sumandos; a veces, denominadas «sumas con puntos». El símbolo \(\sum\) que se utiliza en esta notación es la letra griega «sigma» mayúscula. A una expresión que contiene este símbolo se le denomina sumatorio (RAE ).
Anatomía de un sumatorio
Podríamos expresar como sumatorio la suma de los cinco primeros números naturales: $$ 1+2+3+4+5=\sum_{i=1}^{i=5} i $$ Bajo el símbolo de sumatorio aparece una letra \(i\), que se denomina índice del sumatorio igualado al número que es el límite inferior del índice. Aquí es \(1\). Sobre el símbolo de sumatorio aparece el mismo índice igualado a su límite superior, el valor \(5\). A la derecha del sumatorio aparece una expresión, en este caso muy sencilla, que contiene el índice y de la cual nos aseguraremos de que reproducirá cada uno de los términos de la suma cuando el índice tome los valores enteros desde el límite inferior hasta el superior. Por esta característica, se le puede llamar término general. Finalmente, el sumatorio se lee $$\sum_{\{\acute\imath ndice\} = \left\{\begin{array}{c} l \acute\imath mite \\ inferior\end{array} \right\} } ^ {\left\{\begin{array}{c}l \acute\imath mite \\ superior\end{array}\right\}} \{t \acute e rmino\ general\}$$ «Sumatorio en \(\{\acute \imath ndice\}\) desde \(\{l \acute \imath mite\ inferior\}\) hasta \(\{l \acute\imath mite\ superior\}\) de \(\{t \acute e rmino\ general\}\)»
Como se verá, en adelante, lo realmente importante para escribir un sumatorio es saber expresar su término general.
Los sumatorios siguientes $$\sum_{k=1}^{k=5} k,\,\quad \sum_{k=4}^{k=8} \left ( k-3 \right )$$ representan la misma suma de los cinco primeros números naturales. Es decir, el índice del sumatorio es un «índice mudo», entendiendo con ello que puede utilizarse como tal cualquier letra que no tenga otro uso en la expresión. En el segundo, las unidades sustraidas a \(k\) en término general han sido incrementadas a los límites superior e inferior. La parte superior del sumatorio suele abreviarse escribiendo solo el límite superior del índice. Así, $$\sum_{k=1}^{5} k $$ Por ejemplo, la suma de los cien primeros números naturales \( 1+2+3+ \dots +100 \) (suma con puntos) podría representarse así $$1+2+3+ \dots +100 = \sum_{n=1}^{100} n $$
La suma de los cuadrados de los 100 primeros números naturales se expresa como sumatorio así: $$ \begin{align} 1 + 4 + 9 + \dots + 10\ 000 &= 1 + 2^2+ \dots + 100^2 \\ &= \sum_{n=1}^{100} n^2 \end{align} $$
También podríamos expresar la suma de un número indeterminado \(n\) de sumandos: $$ 1 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \sum_{i=1}^{n} i^2 $$ donde se ha cambiado la letra del índice para que no entre en conflicto con una letra que aparece en la expresión.