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Cataluña 2021-A-P1

Contexto
Sois docentes de dos de los cuatro grupos de alumnos de 3º de ESO de un instituto de Cataluña situado en una población del área metropolitana de Barcelona. Es un centro con una diversidad grande de alumnos que recoge alumnos provenientes, mayoritariamente, de 6 escuelas diferentes de la población. El proyecto educativo del centro establece que los grupos tienen que ser heterogéneos, de forma que en todos ellos haya una distribución equivalente en cuanto a chicos y chicas y niveles competenciales logrados en los cursos anteriores. Para poder resolver problemas donde haya dos magnitudes relacionadas entre sí, tenéis previsto dedicar varias sesiones a trabajar con los alumnos el método de reducción para la resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Cuestiones previas
  1. Enunciar el Teorema de Rouché-Fröbenius. ¿Qué relación creéis que puede tener con el currículum de ESO?
  2. Explicar en qué consiste el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones y qué relación tiene con el método de reducción para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Dos de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones más utilizados son el método de Gauss y la regla de Cramer. Valorar en qué condiciones es mejor el uno que el otro.
  3. Considerar el sistema de ecuaciones lineales siguiente: $$\begin{cases} x-y+z &= 0 \\ 2x+kz &= 1 \\ x+(k+1)y+z &=k^2-4 \end{cases}$$ en el que \(k\) es un parámetro real.
    1. Discutir el sistema para los diferentes valores de \(k\).
    2. Resolver el sistema para \(k = −2.\)
Elaboración de la situación de aprendizaje
  1. Describir en detalle el desarrollo de una sesión de resolución de problemas mediante el uso del método de reducción para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, con alumnos de 3º de ESO, indicando las actividades de aprendizaje propuestas, la organización y el trabajo de los alumnos, así como las estrategias para garantizar la participación de todo el alumnado.
  2. Concretar los aprendizajes competenciales que prevéis que adquieran los alumnos en esta sesión.
  3. Concretar elementos relacionados con la evaluación de los aprendizajes previstos a la sesión.

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Cataluña 2021-A-P2

Contexto
Sois docentes de un grupo de 30 alumnos de Matemáticas de 2º de ESO en un instituto que está situado en un barrio periférico de una gran ciudad. El proyecto educativo del centro establece que los grupos tienen que ser heterogéneos de forma que en todos ellos haya una distribución equivalente en cuanto a chicos y chicas y niveles competenciales logrados en los cursos anteriores. En el marco de la coordinación del profesorado de las materias STEAM, en la programación de Matemáticas de 2º de ESO, habéis introducido los conceptos de función de proporcionalidad directa e inversa porque desde la materia de Física y Química se quiere trabajar el contenido Magnitudes que describen movimientos: posición, tiempo, velocidad y aceleración utilizando la relación del movimiento uniforme.\(\require{AMSmath}\) $$v = \dfrac{e}{t}.$$ Así, después de dedicar unas sesiones a trabajar con los alumnos las funciones de proporcionalidad directa e inversa, conectándolas con situaciones reales en que intervengan las magnitudes posición (espacio), tiempo y velocidad, queréis hacer una sesión de síntesis en la que compararéis las dos funciones, \(v = \dfrac{e}{t}\) y \(e = vt\) tratándolas como funciones de proporcionalidad inversa y directa.
Cuestiones previas
  1. Utilizando la definición de continuidad de una función \(f(x)\) en un punto \(x_0\) de su dominio, demostrar que si \(A \subseteq \mathbb R\) y \(f: A \to \mathbb R\) es continua en \(x_0\), entonces también lo es \(|f(x)|\); dar un ejemplo, justificándolo, de función \(f(x)\) discontinua tal que \(|f(x)|\) sea una función continua.
  2. ¿Qué relación hay entre las asíntotas verticales de una función y el límite lateral de una función en un punto? Relacionar estos dos conceptos con las funciones de proporcionalidad inversa.
  3. Considerar la función \(f(x) = \dfrac{1}{x^2-k}\) en la que \(k \in \mathbb R \setminus \{0\}\). Para los diferentes valores del parámetro \(k\):
    1. Calcular el dominio y las asíntotas de la función.
    2. Calcular los puntos con un máximo o un mínimo relativo.
    3. ¿Puede definir alguna función de proporcionalidad inversa que tenga elementos geométricos en común con \(f(x)\)?
Elaboración de la situación de aprendizaje
  1. Describir en detalle el desarrollo de una sesión de síntesis en que compararéis las funciones \(v = \dfrac{e}{t}\) y \(e = vt\), tratándolas como funciones de proporcionalidad inversa y directa, con alumnas de 2º de ESO, conectándolas con situaciones reales en que intervengan las magnitudes posición (espacio), tiempo y velocidad, indicando las actividades de aprendizaje propuestas, la organización y el trabajo de los alumnos, así como las estrategias para garantizar la participación de todo el alumnado.
  2. Concretar los aprendizajes competenciales que prevéis que adquieran los alumnos en esta sesión.
  3. Concretar elementos relacionados con la evaluación de los aprendizajes previstos a la sesión.

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Cataluña 2021-A-P3

Contexto
Sois docentes de un grupo de 30 alumnos de Matemáticas de 4º de ESO en un instituto situado en una gran ciudad. Es un centro con una diversidad grande de alumnos que recoge alumnos provenientes, mayoritariamente, de 4 escuelas adscritas. El proyecto educativo del centro establece que los grupos tienen que ser heterogéneos en cuanto a chicos y chicas y niveles competenciales logrados. Dentro del tema de conceptos básicos de la probabilidad se ha planificado una sesión dedicada a juegos con dados, monedas, bolas de colores, bolas numeradas, etc., para experimentar, sistematizar la recogida de datos, su representación y calcular probabilidades empíricas con el uso de medios tecnológicos, como por ejemplo hojas de cálculo, y contrastar estos datos con un enfoque combinatorio. Se trata de contextualizar los conceptos de probabilidad, el origen de la teoría de probabilidad y su aplicación práctica en situaciones próximas.
Cuestiones previas
  1. Explicar qué aporta la teoría de la probabilidad al tratamiento del azar, conectando el cálculo de probabilidades con la combinatoria.
  2. Enunciar y relacionar el Teorema de la probabilidad total y el Teorema de Bayes. Valorar en qué situación es útil la aplicación del Teorema de Bayes, en un contexto de un trabajo de investigación de bachillerato.
  3. Una bolsa B1 contiene 3 bolas blancas y 2 bolas negras. Otra bolsa B2 tiene 2 bolas blancas y 4 bolas negras. Se tira una moneda ideal para elegir al azar una de las dos bolsas y se extrae una bola. Calcular la probabilidad:
    1. Que la extracción sea una bola blanca y de la primera bolsa.
    2. Que la extracción sea una bola blanca.
    3. Si la extracción ha sido una bola negra, que sea de la bolsa B2.
Elaboración de la situación de aprendizaje
  1. Describís en detalle el desarrollo de una sesión de cálculo de probabilidades, con alumnas de 4º de ESO, dedicada a juegos con dados, monedas, bolas de colores, bolas numeradas, etc., para experimentar, sistematizar la recogida de datos, su representación y calcular probabilidades empíricas con el uso de medios tecnológicos, como por ejemplo hojas de cálculo, y contrastar estos datos con un enfoque combinatorio. Indicar las actividades de aprendizaje propuestas, la organización y el trabajo de los alumnos, así como las estrategias para garantizar la participación de todo el alumnado.
  2. Concretar los aprendizajes competenciales que prevéis que adquieran los alumnos en esta sesión.
  3. Concretar elementos relacionados con la evaluación de los aprendizajes previstos a la sesión.

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Cataluña 2021-B-P1

Contexto
Sois docentes de un grupo de 30 alumnos de Matemáticas de 4º de ESO en un instituto que es el único centro educativo de educación secundaria situado en una población pequeña. El proyecto educativo del centro establece que los grupos tienen que ser heterogéneos de forma que en todos ellos haya una distribución equivalente en cuanto a chicos y chicas y niveles competenciales logrados en los cursos anteriores. En la programación de Matemáticas de 4º de ESO tenéis que continuar con las ecuaciones de 4º grado, introducidas en 3º de ESO, de forma que tenéis previsto dedicar varias sesiones a trabajar con los alumnos la resolución de ecuaciones de segundo grado por procedimientos geométricos, a la manera de Al-Khwarizmi (780 − 850).
Cuestiones previas
  1. El matemático Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780-850), en su tratado de álgebra Kitab al-Mukhtasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala, entre otros cuestiones, trata de resolver problemas de reparto de herencias mediante ecuaciones lineales y cuadráticas. A pesar de que no utilizaba la notación actual sino sólo palabras, Al-Khwarizmi también presentaba construcciones geométricas para justificar las soluciones de las ecuaciones de segundo grado. Explicar en que consiste el método geométrico de resolución de ecuaciones de segundo grado por procedimientos geométricos. [1]
  2. A lo largo de la Historia se han desarrollado diferentes técnicas para resolver ecuaciones. El matemático Bernard Bolzano (1781-1848) demostró el que se denomina Teorema de Bolzano. Enunciadlo y explicar cómo podríais aplicarlo para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones de segundo grado.
  3. Considerar la función \(\require{AMSmath}\DeclareMathOperator{\arctan}{arctg}\)$$f(x) = x+\E^x+\arctan(x).$$ Demostrar que la ecuación \(f(x) = 0\) tiene una única solución.
Elaboración de la situación de aprendizaje
  1. Describir en detalle el desarrollo de una sesión de resolución de ecuaciones de 2º grado por procedimientos geométricos, con alumnos de 4º de ESO, indicando las actividades de aprendizaje propuestas, la organización y el trabajo de los alumnos, así como las estrategias para garantizar la participación de todo el alumnado.
  2. Concretar los aprendizajes competenciales que prevéis que adquieran los alumnos en esta sesión.
  3. Concretar elementos relacionados con la evaluación de los aprendizajes previstos a la sesión.

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Cataluña 2021-B-P2

Contexto
Sois docentes de un grupo de 26 alumnos de Matemáticas de 3º de ESO en un instituto de una población grande. El instituto está ubicado en un barrio periférico y recibe alumnado de 3 centros adscritos, uno de los cuales es un centro de máxima complejidad. El proyecto educativo del centro establece que los grupos tienen que ser heterogéneos de forma que en todos ellos haya una distribución equivalente en cuanto a chicos y chicas y niveles competenciales logrados en los cursos anteriores. En una de las 4 horas semanales de la materia tenéis un profesor de refuerzo al aula. En la programación de 3º de ESO habéis recogido el cálculo de longitudes y superficies y tenéis prevista una sesión donde quede patente la diferencia entre las magnitudes lineales y las cuadráticas.
Cuestiones previas
  1. La Regla de Barrow permite calcular superficies mediante integrales definidas, a pesar de que es un método que no siempre es factible. Indicar, en un contexto de 2º de bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología, en qué casos utilizaríais la regla de Barrow y, en el caso en que no sea factible, qué método numérico podríais utilizar.
  2. Calcular el área de la superficie sombreada:
  3. Determinar el volumen del paraboloide \(z = x^2+y^2\) entre los planos \(z = 0\) y \(z = 16\).
Elaboración de la situación de aprendizaje
  1. Describís en detalle el desarrollo de una sesión con alumnas de 3º ESO, en que también participe el profesor de refuerzo, de forma que haya alguna actividad que obligue los alumnos a resolver una situación donde quede patentiza la diferencia entre las magnitudes lineales y las cuadráticas. Indicar las actividades de aprendizaje propuestas, la organización y el trabajo de los alumnos, así como las estrategias para garantizar la participación de todo el alumnado.
  2. Concretar los aprendizajes competenciales que prevéis que adquieran los alumnos en esta sesión.
  3. Concretar elementos relacionados con la evaluación de los aprendizajes previstos a la sesión.

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Cataluña 2021-B-P3

Contexto
Sois docentes de un grupo de 30 alumnos de Matemáticas de 4º de ESO en un instituto de una población grande. El instituto está ubicado en un barrio periférico y recibe alumnado de 3 centros adscritos. Uno de los centros es un centro de máxima complejidad. El proyecto educativo del centro establece que los grupos tienen que ser heterogéneos de forma que en todos ellos haya una distribución equivalente en cuanto a chicos y chicas y niveles competenciales logrados en los cursos anteriores. Dentro del tema de geometría habéis planificado una sesión dedicada a los puntos notables de un triángulo con la utilización tanto de materiales manipulativos como de herramientas informáticas.
Cuestiones previas
  1. Enumerar los puntos notables de un triángulo en un contexto de alumnos de 4º de ESO, así como sus propiedades y justificadlas.
  2. Dado el triángulo \(ABC\) en \(\mathbb R^3\) donde \(A = (0, 0, 0),\) \(B = (0, 1, 0)\) y \(C = (1, 1, 1),\) calcular el baricentro, el ortocentro y el circuncentro. ¿Qué relación hay entre estos tres puntos?
  3. Generalizar el resultado del apartado anterior a cualquier triángulo de \(\mathbb R^2.\)
Elaboración de la situación de aprendizaje
  1. Describís en detalle el desarrollo de una sesión de geometría, con alumnos de 4º de ESO, dedicada a los puntos notables de un triángulo con la utilización tanto de materiales manipulativos como de herramientas informáticas. Indicar las actividades de aprendizaje propuestas, la organización y el trabajo de los alumnos, así como las estrategias para garantizar la participación de todo el alumnado.
  2. Concretar los aprendizajes competenciales que prevéis que adquieran los alumnos en esta sesión.
  3. Concretar elementos relacionados con la evaluación de los aprendizajes previstos a la sesión.

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Cataluña 2018-P1

a) De un conjunto \(\mathcal C\) de \(N\) bolas \(\require{AMSsymbols}\require{AMSmath}(N \geqslant 3),\) consideramos un subconjunto \(\mathcal S\) de \(k\) bolas \((k \leqslant N).\) Encuentra una expresión matemática para la probabilidad \(P_k\) de que en dos extracciones consecutivas al azar, sin reposición, de bolas del conjunto \(\mathcal C,\) al menos una de las bolas pertenezca al conjunto \(\mathcal S.\) Comprueba que en el caso particular \(k=N,\) entonces \(P_N=1\) (evento seguro) y calcula la probabilidad para \(k=N-1.\)

b) Se escogen dos puntos sobre la circunferencia de un círculo de manera aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuerda dibujada entre estos dos puntos sea más grande que el radio del círculo?

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Cataluña 2018-P2

Sea \(\require{AMSsymbols}\require{AMSmath}\DeclareMathOperator{\sen}{sen}\DeclareMathOperator{\arcsen}{arcsen}\)\(A(t)\) el área de la región del plano comprendida por el primer cuadrante entre la elipse de ecuación \(4x^2+y^2=1,\) la recta horizontal \(y=1\) y la recta vertical \(x=t,\) donde \(0 \leqslant t \leqslant 1/2.\) Calcula los valores máximo y mínimo absolutos de \(A(t)\) en el intervalo \(\left [ 0, \frac{1}{2} \right ].\)

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