Andalucía. Sevilla 1996-P1

Sea \(P_n\) el espacio vectorial de los polinomios reales de variable real, de grado menor o igual que \(n\).
a) Demostrar que \(P=\{p_0, p_1,\dots,p_n\},\) donde \(p_i(x) = x^i,\) es una base de \(P_n\).
b) Demostrar que \(Q=\{q_0,q_1,\dots,q_n\},\) donde \(q_i(x)= (1+x)^i,\) es una base de \(P_n\).
c) Expresar las ecuaciones del cambio de la base \(Q\) a la base \(P\).
d) Probar que para \(k \le n,\) \(\require{AMSmath}\quad\displaystyle\binom {k}{k} + \binom {k+1}{k} + \dots + \binom {n}{k} = \binom {n+1}{k+1}\).
e) Calcular las coordenadas de \(R(x)\) en la base \(P\) siendo \(R(x) = (1,1,\dots,1)\) en la base \(Q.\)